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\documentclass{article}
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%\usepackage{times}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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%\usepackage{amsthm}
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\usepackage{algorithm} % for pseudo-codes
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%\usepackage{enumerate}
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\usepackage{algpseudocode}
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%\usepackage{DotArrow}
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%\usepackage{subfig}
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%\usepackage{amsmath, environ}
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%\usepackage{amssymb}
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%\usepackage{amsthm}
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%%\usepackage{bm}
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%%\usepackage{mathtools}
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\usepackage{graphicx}
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%\usepackage{wrapfig}
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%\usepackage{minibox}
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%\usepackage{multirow}
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%\usepackage{pifont} % \ding{}
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%\usepackage[percent]{overpic}
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%\usepackage{scrextend} % labeling environment
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%
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%\newtheorem{theorem}{Theorem}
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%\newtheorem{definition}{Definition}
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%\newtheorem{example}{Example}
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%
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%\renewcommand{\textfraction}{0.05}
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%\renewcommand{\floatpagefraction}{0.75}
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\newcommand{\centerimage}[5][-7pt]{ % [vskip] | graphics-opt | imgname | label | caption
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\begin{figure}[!htb]%
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\centering%
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\vspace{#1}%
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\includegraphics[#2]{#3}%
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\caption{#5}\label{#4}\vspace{2mm}%
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%\vspace{-3pt}\caption{#5}\label{#4}\vspace{-2pt}%
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\end{figure}}
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\date{}
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%\includegraphics[trim=1cm 2cm 3cm 4cm, clip=true]{example.pdf}
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\begin{document}
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\title{Relazione Esercizio Rete WN (E)}
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\author{Francesco Gallà, francesco.galla@edu.unito.it}
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\maketitle
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%%%%%%% INTRODUCTION %%%%%%%
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\section{Rete E} \label{sec:reteE}
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Master di tre tipi distinti (seppur di uguale struttura) che chiameremo m1, m2 e m3 e due slave (uno di struttura 1 e uno di struttura 2).
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Ad ogni ciclo il master sceglie in modo indipendente di quale dei due slave servirsi.
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Vi siano N master per ognuno dei tre tipi e R1 slave per la struttura 1 e R2 per la struttura 2.
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\subsection{La rete di Petri} \label{ssec:reteE-PN}
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La Figura~\ref{img:reteE} rappresenta la rete di Petri WN del primo esercizio (rete E).
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Il master è modellato dai posti Req, Wait, Result e dalle transizioni Build\_req, Dispatch,
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Retrieve.
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Lo slave di tipo 1 è modellato dai posti Available1, S1C1,S1C2, EndS1C1, EndS2C2, EndS1 e
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dalle transizioni Fork, ProcessC1, ProcessC2, Join.
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Lo slave di tipo 2 è modellato dai posti Available2, S2, ResS2, EndS2, e dalle
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transizioni Recv, ProcessS2, SendRes, EndS2.
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Il master p\`uo scegliere in maniera indipendente a quale dei due slave mandare le richieste
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grazie ai posti InBuf, InBuf1, InBuf2 e alle transizioni Choose1, Choose2, che formano un
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buffer composto da 3 parti, una propria del master e una per ogni slave.
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I risultati vengono ritornati al master su di un buffer condiviso tra il master e i due
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slave, modellato dal posto OutBuf.
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\subsection{I colori}
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Questa rete utilizza una singola classe di colori chiamata Master, utilizzata per distinguere
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i tipi di master ${m1, m2, m3}$. A scopo di analisi, \`e stata successivamente utilizzata la
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forma ${m1..mk}$ che permette di variare le tipologie di master in maniera parametrica.
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La rete utilizza il color domain $<m>$ per i posti che modellano il master e per i posti degli
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slave nei quali è necessario mantenere in memoria quale master ha effettuato la richiesta.
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Questo permette alle richieste di venire processate in contemporanea senza sovrapporsi.
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Per i posti propri agli slave (che non si occupano quindi di processare la richiesta), non
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\`e stato necessario utilizzare alcun color domain.
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%\centerimage{trim=1cm 10cm 3cm 4cm, clip=true}
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\centerimage{width=\columnwidth}
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{reteE.jpg}{img:reteE}
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{Modello WN della rete E}
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\subsection{Valutazione del Reachability Graph} \label{ssec:reteE-res}
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Le tabelle elencano la dimensione dello spazio degli stati al variare del numero di master e di slave (marcatura iniziale).
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Per il RG, si nota come i valori di $N = 3$ e $R1,R2 = 1$ portino a tempo di calcolo di circa
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??? from here until ???END lines may have been inserted/deleted
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30 minuti. Inoltre ogni aumento di $R1,R2$ moltiplica linearmente il numero di 4 di un
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fattore $4$ (in media) mentre tra $N = 1$ e $N = 2$ si riscontra un aumento di un fattore
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$80$, mentre tra $N = 2$ e $N = 3$ si riscontra un aumento di un fattore $26$.
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A causa dei tempi di calcolo eccessivi, non \`e stato possibile proseguire per ottenere un
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valore più preciso riguardo l'incremento del valore di $N$.
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L'utilizzo del Symbolic RG (SRG) permette di dividere di un fattore $5$ il numero di
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markings rispetto al corrispettivo RG, seppure la dimensione dello spazio degli stati aumenti
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in maniera coerente con il Reachability Graph. La riduzione dello spazio degli stati
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ha permesso anche una riduzione del tempo di calcolo, che rimane comunque eccessivo per
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procedere a successive simulazioni.
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{ |p{3cm}||p{3cm}|p{3cm}||p{3cm}| }
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\hline
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\multicolumn{4}{|c|}{Effetto della marcatura iniziale sul numero di markings} \\
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\hline
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N & R1,R2 & Markings RG & Markings SRG \\
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\hline
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1 & 1 & 2448 & 524 \\
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1 & 2 & 8352 & 1750 \\
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1 & 3 & 17856 & 3752 \\
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2 & 1 & 179172 & 31612 \\
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2 & 2 & 950787 & 165378 \\
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2 & 3 & 2677328 & 463852 \\
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3 & 1 & 4710272 & 799792 \\
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\hline
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\end{tabular} \\
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\caption{Variazione dello spazio degli stati.}
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\label{tab:reteE}
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\end{table}
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\subsection{Aumentare le tipologie di master}
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Utilizzando una versione parametrica della classe di colori con $k$ come parametro, \`e stato
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possibile simulare il comportamento della rete con multiple tipologie di master. $k = 3$ \`e
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il punto di partenza dell'esercizio. I valori di $k$ sono stati incrementati progressivamente
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cercando di mantenere il tempo di calcolo nei 30 minuti assegnati, arrivando a un valore
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massimo di $k = 6$.
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\`E stato utilizzato sempre lo stesso valore di $N=1,R1=1,R2=1$ per evidenziare l'impatto del
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numero di master sulla rete.
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Anche in questo caso, il numero di marking aumenta in maniera pressochè lineare con
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l'aumentare di $k$. La differenza tra il numero di marking del Reachability Graph e quelli del
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Symbolic Reachability Graph \`e per\`o notevolmente p\`iu marcata rispetto all'analisi
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precedente: si nota come nel RG il numero di marking aumenti di un fattore $8$ mentre per
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il SRG aumenta di un fattore $2$.
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%===================== TEST 2 FMS
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{ |p{3cm}||p{3cm}|p{3cm}| }
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\hline
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\multicolumn{3}{|c|}{Effetto delle tipologie di master sul numero di marking} \\
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\hline
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k & Markings RG & Markings SRG \\
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\hline
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3 & 2448 & 524 \\
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4 & 19008 & 1344 \\
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5 & 143424 & 2968 \\
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6 & 1057536 & 5880 \\
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\hline
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\hline
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\end{tabular} \\
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\caption{Variazione dello spazio degli stati.}
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\label{tab:reteE}
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\end{table}
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%=====================
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\subsection{Considerazioni sulla Join}
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La rete E \`e una rete che utilizza classi di colore, pertanto le condizioni in cui una Join
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si verifica tra due sottoprocessi che non sono stati creati dalla stessa Fork sono le seguenti:
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\begin{description}
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\item{1.} Sono presenti multiple istanze di token con lo stesso "colore", ovvero
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identificati dallo stesso membro della classe Master (es. $<m> = m1$). Quindi \`e
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necessario $N > 1$
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\item{2.} Lo slave deve poter chiamare Fork su più di una richiesta per volta,
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ovvero avere più di un token nel posto Available1 nella marcatura iniziale.
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Questo si verifica con $R1 > 1$
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\end{description}
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Se queste condizioni nella marcatura iniziale sono rispettate, allora \`e possibile che si
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verifichi una Join tra due processi non creati dalla stessa fork, ma che comunque
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apparterranno alla stessa classe di colore (e quindi allo stesso tipo di Master).
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Questo fenomeno \`e dato dal fatto che la classe Master non diversifica le richieste in
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maniera univoca, ma solamente in base al master che le ha generate. Pertanto lo slave non \`e
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in grado di distinguerle a sua volta.
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In tutti i casi in cui le condizioni precedenti non sono rispettate, allora la Join verr\`a
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per forza eseguita tra due processi figli della stessa Fork.
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\end{document}
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