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* Esposito
** Tasks: Binary Classification
I modelli predittivi si occupano di inferire delle informazioni sui
nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati
*** TODO Geometric classification 
*** Probabilistic classifier
Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente
regola:
- Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X)$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))}$ =
  $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
- Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)
*** Features
Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare
un'approssimazione lineare (y=0).
Pero` possiamo usare x come sia come splitting feature (due
approssimazioni diverse se x<0 o x≥0) e come variabile di regression
(l'approssimazione contiene x)
Delle volte si puo` mappare il feature space su nuovi spazi (e.g.:
scatter plot: renderlo al quadrato)
** Classification
$\hat{c}$: X → C
C = {C₁, C₂, ..., Cₖ}
example: <x, c(x)>
Learning is constructing $\hat{c}$
*** TODO Decision Tree
Vedi decision tree, feature tree, contingency table
*** Misure
- Accuracy:  $acc = \frac{1}{|T_e|}\sum I[\hat{c}(x)=c(x)] = P(\hat{c}(x) = c(x))$
- Error rate: $1-acc = P(\hat{c}(x) \ne c(x))$
- class ratio, clr: $\frac{Pos}{Neg} = \frac{\sum_{x\in{T_e}}
  I[c(x)=1]}{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=0]}$
- recall, true positive rate: $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
- specificity, true negative rate = $\frac{TP}{Pos} =
  P(\hat{c}(x)|c(x))$
- false positive, false negative = 1-tnr, 1-tpr
- Precision, confidence = $\frac{TP}{TP+FP} = P(c(x)|\hat{c}(x))$
*** TODO Coverage plot e roc plot
*** Scoring Classifier
mapping $\hat{s}: X \to R^k$ dove s e` un vettore s(x) = (s₁(x),
s₂(x), ..., sₖ(x)). i-th componente = score della classe Cᵢ
Nello scoring tree, in caso di classificazione binaria, si possono
usare nelle foglie il logaritmo del ratio fra lo score delle classi.
**** Margine e Loss f
Prendiamo la classe true come +1:
- z(x) = c(x)$\hat{s}(x)$
Il margine e` il valore assoluto della predizione, positivo se giusta,
negativo se errata.
La Loss function L(z(x)): R → [0, ∞); L(0) = 1 e L(z<0)≥1 e
L(z>0)∈[0,1)
La loss function e` importante nella fase di learning per cercare la
soluzione ottimale
- 0-1 Loss
- Hinge Loss
- Logistic Loss
- Exp Loss
- Squared Loss
**** Ranking
Una funzione di scoring puo` essere trasformata in una di ranking
ordinando le istanze in base allo score ottenuto.
Ranking-Error quando $\hat{s}(x)<\hat{s}(x') \wedge s(x') < s(x)$
- $\frac{\sum_{x\in{T^+_e},x'\in{T^-_e}}{I[\hat{s}(x) < \hat(s)(x')] +
  I[\hat{s}(x) = \hat(s)(x')]}}{Pos\cdot Neg}$
- Ranking accuracy: 1 - Rank-Err
*** Probability Estimator
Scoring classifier che per ogni classe restituisce la probabilita` che
l'istanza appartenga a quella classe
- $\hat{p}: X \to [0,1]^k$
- $\sum_{i=1}^{k}{\hat{p_i}(x)} = 1$
- Squared Error: $SE(x) = \frac{1}{2} \Vert \hat{p}(x) - I_{c(x)} \Vert
  ^2_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(\hat{p}(x) - I[c(x) = C_i])^2$
- Mean Squared Error: $MSE(T_e) =
  \frac{1}{|T_e|}\sum_{x\in{T_e}}SE(x)$
- Empirical Probability: Vettore dato dal numero di istanze sul totale
  per ogni classe (frequenza)
Solitamente si applica un coefficente di smoothing per queste
frequenze
- Laplace correction: $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+1}{|S|+k}$
- m-estimate: non uniform smoothing dato da pseudo-counts m e prior
  probs πᵢ $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+m\cdot\pi_i}{|S|+m}$
*** TODO Beyond Binary Classification
Vedi 1-vs-rest, 1-vs-1 e cosi` via
*** Overfitting, bias-variance
L'overfitting si evita avendo un numero di parametri ben piu` basso
dei data points.
Con un numero basso di parametri si introduce un bias che spesso anche
con un training elevato non si riesce a risolvere.
Invece con pochi parametri si introduce una forte dipendenza dal test
set e quindi molta varianza.
- $E[(f(x)-\hat{f}(x))^2] = Bias^2(\hat{f}(x)) + Var(\hat{f}(x))$
  (vedi dimostrazione slides)
** Descriptive Learning
Tasks and learning problem coincide. No separate training set, produce
a descriptive model of the data at hand. Learn a model describing the
data.
*** Clustering
Obbiettivo: trovare gruppi omegenei, trovare una labelling function da
dati senza label.
- $\hat{q}: X \to C$ (predictive)
- $\hat{q}: X \to L$ (descriptive)
*** Supervised subgroup discovery
Preso un dataset labelled (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ trova:
- $\hat{g}: D \to {true, false}$
- G = {x∈D | $\hat{g}$(x) = true}, la cui class distribution e`
  diversa marcatamente dalla popolazione originale
*** Association Rules
Dato un dataset unlabelled D trova:
- un set di regole {b→h} tale che:
  + h solitamente e` soddisfatta quando b lo e`
  + b∪h e` frequente (high support: %n di elementi soddisfano la
    regola)
- Il powerset di un insieme di regole frequenti e` frequente a sua
  volta.
- Confidenza: support(a∪b)/suport(a)
** Models
*** Linear Models
**** Best fitting line
Cx + D = y
X w = y in matrix form, w = (C D)ᵀ
Se X quadrata e full rank: w = X⁻¹·y ma generalmente X non e`
invertibile 
| Errore: ‖e‖₂ = ‖y-p‖₂ = (∑ᵢ(yᵢ-pᵢ)²)⁻¹
Possiamo inquadrare questo problema come un problema di minimizzazione
della norma di e. p = X·$\hat{w}$: L'intero problema consiste in:
| $minimize_{\hat{w}}\Vert X \hat{w} - y \Vert_2^2$
| minimize_ŵ ‖Xŵ-y‖²₂
La soluzione consiste nell'imporre l'ortogonalita` di e e C(X), ovvero
Xᵀ·e=0; quindi:
| Xᵀ·e = 0; e = y-X·ŵ
| Xᵀ(y-X·ŵ) = 0
| Xᵀy = XᵀXŵ
| ŵ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy (LSE)
**** Regularization
evitare l'overfitting applicando dei constraint sul weight vector.
Generalmente i pesi sono in media piccoli: ~shrinkage~.
La versione regolarizzata di LSE:
| w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₂
Soluzione:
| ŵ  = (XᵀX + λI)⁻¹Xᵀy
si dice ~ridge regression~ e significa aggiungere λ alla diagonale di
XᵀX per migliorare la stabilita` numerica dell'inversione
Si puo` anche usare ~lasso~ nel caso di soluzioni sparse
(least absolute shrinkage and selection operator)
che sostituisce ‖w‖₂ con ‖w‖₁=∑|wᵢ|
| w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₁
Minimizzare la norma significa immaginare che X sia affetto da errore
D e minimizzare l'errore:
| (X+D)w = Xw + Dw
inoltre significa imporre un bias e quindi minimizzare l'effetto della
varianza dell'errore. LSE enhance le piccole variazioni nei dati:
unstable regressor.
**** LSE per la classificazione
| ĉ(x) = 1 se xᵀŵ - t > 0 
| ĉ(x) = 0 se xᵀŵ - t = 0 
| ĉ(x) = -1 se xᵀŵ - t < 0 
Ovvero si rappresenta la classe positiva come 1 e la negativa come -1
t rappresenta gli intercepts.
** SVM
Hyperplane:
| y = ax + b 
| y -ax -b = 0
| wᵀx = 0
- w = (-b -a 1)ᵀ *x* = (1 x y)ᵀ
- Functional margins: soluzioni che non fanno errori
- Geometric margins: soluzioni che massimizzano la distanza fra i piu`
  vicini punti di classe opposta
*** Margine funzionale
Valore dell'hyperplane al punto xᵢ:
| f(xᵢ) = w·xᵢ-t
possiamo usare f(xᵢ)>0 per discriminare fra classe positiva/negativa
- Functional margin:
  | μ(xᵢ) = yᵢ(w·xᵢ-t) = yᵢf(xᵢ)
  se l'esempio e` ben classificato: μ(xᵢ) > 0
*** Support Vectors
Possiamo richiedere che ogni istanza nel dataset soddisfi:
| yᵢ(w·xᵢ-t) ≥ 1
Istanze nel decision boundary (chiamate ~support vectors~):
| yᵢ(w·xᵢ-t) = 1
Margine geometrico:
(x₊-x₋)·$\frac{w}{\Vert{w}\Vert}$
*** TODO (w₀,w₁) ortogonali
*** Ottimizzazione:
Margin size:
| μ = (x₊-x₋)·w/‖w‖
| x₊·w-t = 1 -> x₊·w = 1+t
| -(x₋·w-t) = 1 -> x₋·w = t-1
| $\mu = \frac{1+t-(t-1)}{\Vert{w}\Vert} = \frac{2}{\Vert{w}\Vert}$
μ va minimizzata, il che significa massimizzare ‖w‖
| $minimize_{w,t} \frac{1}{2}\Vert{w}\Vert^{2}$
| yᵢ(w·xᵢ-t)≥1; 0≤i≤n
minimizzaₓ: f₀(x)
soggetto a: fᵢ(x) ≤ 0     i = 1, ..., m
            gᵢ(x) = 0     i = 1, ..., p
Formulazione duale di Lagrange:
| g(α, υ) = infₓ ⋀(x,α,υ) = infₓ(f₀(x) + ∑₁ᵐαᵢfᵢ(x) + ∑₁ᵖυᵢgᵢ(x))
Duality: forma organizzata per per formare bound non triviali in un
problema di ottimizzazione
In problemi convessi il bound e` solitamente ~strict~ e massimizzare
il bound porta alla stessa soluzione che minimizzare la funzione
originale: ~strong duality~.
KKT conditions needs to hold for strong duality. 
TODO: Vedi dimostrazione slides

** Kernels
Trick usato per adattare degli algoritmi lineari a ipotesi non
lineari.
Idea: linear decision surface su uno spazio trasformato puo`
corrispondere ad una superficie non lineare sullo spazio originale.
Esempio:
| ϕ(x) = (x₁², sqrt(2)x₁x₂, x₂², c)
| ĉ(x) = sign(w·x-t)
| ĉ(x) = sign(K(w,x)-t) = sign(ϕ(w)·ϕ(x)-t)

Una kernel function K: V×V→R per la quale esiste un mapping ϕ:V→F, F
spazio di Hilbert, tale che:
K(x,y) = <ϕ(x), ϕ(y)>
Ovvero una kernel function calcola l'inner product di x e y dopo
averli mappati su un nuovo spazio di Hilbert (possibilmente highly
dimensional)

Restituiscono un intuizione della similarita` (proporzionalmente)
**** TODO Mercer condition 
**** Inner product
generalizzazione del dot product su piu` spazi.
| Simmetrico: <x,y> = <y,x>
| lineare sul primo argomento: <ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z>
| definito positivamente: <x,x>≥0; <x,x> = 0 ⇔ x = 0
Comodi perche`:
- linear classifier possono lavorare su problemi non lineari
- similarity function in highly dim. space senza calcolare i feature
  vectors
- composizione, nuovi kernel da vecchi

**** Kernel importanti
Polinomiale:
K(x,y) = (x·y)ᵈ or K(x,y) = (x·y+1)ᵈ
- d = 1 → identity
- d = 2 → quadratic
- feature space esponenziale in d

Gaussian Kernel:
$K(x,y) = exp(-\frac{\Vert{x-y}\Vert^2}{2\sigma}$
σ e` deciso tramite cross validation su un altro set indipendente
il feature space ha dimensionalita` infinita.

* Meo
** Concept learning
Assunto base: ogni ipotesi che approssima bene la target function
sugli esempi di training, approssimera` bene anche la target function
con esempi mai visti.
Inoltre D e` consistente e senza rumori ed esiste un'ipotesi h che
descrive il target concept c.
Un'ipotesi h e` una congiunzione di constraint sugli attributi.
Il numero delle ipotesi e` esponenzialmente largo sul numero delle
features:
| {codominio funzione}^{n distinte istanze}
- Ipotesi piu` generale:
  siano hⱼ, hₖ due funzioni booleane (ipotesi) definite su X.
  Si dice che hⱼ e` almeno generale quanto hₖ, scritto hⱼ≥hₖ iff
  | ∀x∈X: hₖ(x) = 1 → hⱼ(x) = 1
  La relazione ≥ impone un ordine parziale (rifl, trans, antisimm).
- Version Space:
  Si chiama version space il set delle ipotesi consistenti con il dataset.
*** Algoritmo Find-S
#+BEGIN_SRC
h ← most specific hyp. in H
foreach x∈X:
    foreach aⱼ in h:    (attribute constraint)
    if h(x)⊧aⱼ:
        continue
    else:
        h ← next more general hyp that satisfies aⱼ
output h
#+END_SRC
Advantages:
- Hyp. space defined through conjunction of constraints
- will output most specific hyp. that is consistent
- will be consistent with negative examples as well
Svantaggi:
- non si sa se il learner converge al target concept (non sa se e`
  l'unica ipotesi valida)
- non sa se il training data e` consistente: ignora esempi negativi
*** Version Space
Definiamo il Version Space come:
| VSₕ_D = {h∈H|Consistent(h,D)}
| Consistent(h,D) = ∀<x,c(x)>∈D: h(x) = c(x)
General and specific boundary of VS: set of maximally g/s members
| VSₕ_D = {h∈H| ∃s∈S, ∃g∈G: g≥h≥s}
**** List then Eliminate
#+BEGIN_SRC
Version Space ← list of every hyp. in H
foreach <x,c(x)> in X:
    foreach h in Version Space:
        if h(x) ≠ c(x) : remove h from VS
output VS
#+END_SRC
**** Candidate Elimination
#+BEGIN_SRC
G ← max. general hyp.
S ← max. specific hyp.
foreach d=<x,c(x)> ∈ D:
    if d is ⊕:
        remove from G any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. s in S:
            remove s from S
            add to S all minimal generalizations h of s:
                - h consistent with d
                - some members of G is more general than h
                - S is a summary of all members cons. with positive examples
            remove from S any hyp. more general than other hyp. in S
    if d is ⊖:
        remove from S any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. g in G:
            remove g from G
            add to G all minimal generalizations h of g:
                - h consistent with d
                - some members of S is more general than h
                - G is a summary of all members cons. with negative examples
            remove from G any hyp. more general than other hyp. in G
#+END_SRC
- converge allo stesso VS qualsiasi l'ordine iniziale di D
- puo` convergere a VS diversi se non ci sono abbastanza membri nel
  training set
**** Inductive Leap
Assumiamo che H contenga il target concept c. Ovvero che c puo` essere
descritto tramite una congiunzione di literals.
Unbiased learner: H esprime ogni concetto imparabile, ovver
Powerset(X).
S e G sono i due insiemi ⊕  ⊖ (con congiunzioni logiche, vedi slides).
Futile perche` un learner che non fa assunzioni a priori
sull'identita` del target concept non ha basi per classificare istanze
mai viste.
- Bias induttivo:
  | ∀xᵢ∈X: (B ∧ D_c ∧ xᵢ) ⊧ L(xᵢ,D_c)
  L(xᵢ, D_c) e` la classificazione assegnata dal concept learning
  algorithm L dopo il training su D_c
  Permette di trasformare un sistema induttivo in deduttivo
** TODO Path Through hyp. space
Vedi che vuole sapere
** Trees
** Rules
Ordered rules are a chain of /if-then-else/.
#+BEGIN_SRC
1. Keep growing the rule antecedent by literal conjunction (high purity)
2. Select the label as the rule consequent
3. Delete the instance segment from the data, restart from 1
#+END_SRC
La purezza misura i figli negli alberi, in rule learning la purezza e`
di un solo figlio il literal e` true. Si possono usare le purity
measure degli alberi ma senza bisogno di fare la media.