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TeX
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\documentclass{article}
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%\usepackage{times}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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%\usepackage{amsthm}
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\usepackage{algorithm} % for pseudo-codes
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%\usepackage{enumerate}
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\usepackage{algpseudocode}
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%\usepackage{DotArrow}
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%\usepackage{subfig}
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%\usepackage{amsmath, environ}
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%\usepackage{amssymb}
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%\usepackage{amsthm}
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%%\usepackage{bm}
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%%\usepackage{mathtools}
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\usepackage{graphicx}
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%\usepackage{wrapfig}
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%\usepackage{minibox}
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%\usepackage{multirow}
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%\usepackage{pifont} % \ding{}
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%\usepackage[percent]{overpic}
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%\usepackage{scrextend} % labeling environment
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%
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%\newtheorem{theorem}{Theorem}
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%\newtheorem{definition}{Definition}
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%\newtheorem{example}{Example}
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%
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%\renewcommand{\textfraction}{0.05}
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%\renewcommand{\floatpagefraction}{0.75}
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\newcommand{\centerimage}[5][-7pt]{ % [vskip] | graphics-opt | imgname | label | caption
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\begin{figure}[!htb]%
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\centering%
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\vspace{#1}%
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\includegraphics[#2]{#3}%
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\caption{#5}\label{#4}\vspace{2mm}%
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%\vspace{-3pt}\caption{#5}\label{#4}\vspace{-2pt}%
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\end{figure}}
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\date{}
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%\includegraphics[trim=1cm 2cm 3cm 4cm, clip=true]{example.pdf}
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\begin{document}
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\title{Relazione Esercizio Rete WN (F)}
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\author{Francesco Galla`, francesco.galla@edu.unito.it}
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\maketitle
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%%%%%%% INTRODUCTION %%%%%%%
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\section{Rete F} \label{sec:reteF}
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Rete F: Master di tre tipi distinti (seppur di uguale struttura) che chiameremo m1, m2 e m3 e
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due slave, di distinto tipo ID1 e ID2, ma di uguale struttura (usare quella indicata come “tipo 1”).
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I master di tipo m1 e m3 richiedono servizio solo agli slave di tipo ID1 e i master di tipo m2
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richiedono servizio solo agli slave di tipo ID2.
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Vi siano N master per ognuno dei tre tipi e R1 slave per il tipo ID1 e R2 per il tipo ID2.
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\subsection{La rete di Petri} \label{ssec:reteF-PN}
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La Figura~\ref{img:reteF} rappresenta la rete di Petri WN del secondo esercizio (rete F).
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Il master è modellato dai posti M\_Richieste, M\_Attesa, M\_Risultati e dalle transizioni Dispatch, M\_Return, Ottieni\_Res.
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Lo slave di tipo 1 è modellato dai posti S1\_Attesa, Child1/Child2, Fine\_C1/Fine\_C2,
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S1\_Fine e dalle transizioni Fork, C1\_Processa/C2\_Processa, Join, S1\_Return,
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S1\_Send\_Res.
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Per collegare le strutture di master e slave sono stati utilizzati due buffer: uno in
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ingresso, identificato dal posto Buffer, uno in uscita identificato dal posto S1\_Send\_Res.
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\subsection{I colori}
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Questa rete utilizza due classi di colori: una classe di colori chiamata Master, utilizzata
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per distinguere i tipi di master ${m1, m2, m3}$, e una classe chiamata Slave, utilizzata per
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distinguere i tipi di slave ${ID1,ID2}$.
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Le due classi sono divise in due sottoclassi ciascuna per permettere la differenziazione dei
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tipi di slave.
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L'utilizzo di un domain $MxS = (Master)x(Slave)$ permette di identificare le richieste in base
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ai tipi corrispondenti di Master e Slave.
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Questo dominio \`e utilizzato principalmente per i posti della struttura Slave, per evitare
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di perdere traccia delle richieste una volta che viene chiamata la transizione Fork.
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\subsection{Fork con Guardia}
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Sulla transizione Fork \`e stata inserita una guardia che permette lo scatto solo in caso il
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master e lo slave rispettino i requisiti dell'esercizio, nello specifico:
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\begin{description}
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\item{1.} Se il master appartiene alla sottoclasse $Master_1$ (vale per $m_1,m_3$)
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allora lo slave deve appartenere alla sottoclasse $Slave_1$ ($ID_1$).
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\item{2.} Se il master appartiene alla sottoclasse $Master_2$ (vale per $m_2$)
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allora lo slave deve appartenere alla sottoclasse $Slave_2$ ($ID_2$).
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\end{description}
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%\centerimage{trim=1cm 10cm 3cm 4cm, clip=true}
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\centerimage{width=\columnwidth}
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{reteF.jpg}{img:reteF}
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{Modello WN della rete F}
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\subsection{I risultati} \label{ssec:reteE-res}
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Le tabelle elencano la dimensione dello spazio degli stati al variare del numero di master
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e di slave (marcatura iniziale).
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Il numero di markings aumenta in maniera simile sia nel caso del RG sia nel caso del SRG,
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considerando che l'incremento di $R_1,R_2$ causa un aumento del numero di marking di un
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fattore di circa $3$, mentre l'incremento di $N$ causa un aumento di un fattore $30$.
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Il SRG permette di ridurre il numero di markings a circa la met\`a rispetto al corrispettivo RG,
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seppure la dimensione dello spazio degli stati aumenti in maniera coerente con il RG.
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L'SRG permette inoltre di ottenere tempi di calcolo leggermente minori rispetto all'RG.
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{ |p{3cm}||p{3cm}|p{3cm}||p{3cm}| }
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\hline
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\multicolumn{3}{|c|}{Effetto della marcatura iniziale sul numero di markings} \\
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\hline
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N & R1/R2 & Markings RG & Markings SRG \\
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\hline
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1 & 1 & 768 & 432 \\
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1 & 2 & 2560 & 1440\\
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1 & 3 & 5376 & 3024 \\
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2 & 1 & 18720 & 9720 \\
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2 & 2 & 97696 & 50481 \\
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2 & 3 & 267120 & 137376 \\
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3 & 1 & 192000 & 97600 \\
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3 & 2 & 1309440 & 663520 \\
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\hline
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\end{tabular} \\
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|
\caption{Variazione dello spazio degli stati.}
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\label{tab:reteE}
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\end{table}
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\subsection{Tipologie di Master}
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Aumentando le tipologie di master non \`e stato sempre possibile preservare la proporzione
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tra le due sottoclassi, per cui si \`e scelto di mantenere la seguente relazione:
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\begin{description}
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\item $|Master_1| > |Master_2|$
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\end{description}
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I valori di $N,R_1,R_2$ sono costanti e fissati a $1$, per evidenziare l'effetto
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dell'incremento delle tipologie di master sulla rete. Le tipologie di Slave sono fissate a
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$2$.
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\break
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Si nota come la crescita delle tipologie di master abbia portato ad un incremento maggiore
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(circa di un fattore $6$) nel caso del RG, mentre il SRG ha un incremento in proporzione
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minore (circa di un fattore $2$).
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%===================== TEST 2 FMS
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{ |p{3cm}||p{3cm}||p{3cm}| }
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\hline
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\multicolumn{3}{|c|}{Effetto delle tipologie di master sul numero di markings} \\
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\hline
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Tipologie Master & Markings RG & Markings SRG \\
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\hline
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3 & 768 & 432 \\
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4 & 3840 & 960 \\
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5 & 20480 & 2880 \\
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6 & 98304 & 5400 \\
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7 & 481520 & 12000 \\
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\hline
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\hline
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\end{tabular} \\
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|
\caption{Variazione dello spazio degli stati.}
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\label{tab:reteE}
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\end{table}
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%=====================
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\subsection{Tipologie di Slave}
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Aumentando le tipologie di Slave si \`e cercato di mantenere la proporzione $|Slave_1| ==
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|Slave_2|$ quando possibile (ossia quando erano presenti un numero pari di slave).
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Anche in questo caso si \`e scelto di mantenere i valori $N==R_1==R_2==1$ e $|Master| = 3$,
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cambiando solo le tipologie di Slave per evidenziarne l'effetto sullo spazio degli stati.
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Come visto analizzando la variazione delle tipologie di master, il SRG si dimostra molto
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pi\`u compatto rispetto al RG, mantenendo uno spazio degli stati notevolmente ridotto.
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Si nota infatti come con pi\`u di $5$ tipologie di master il rapporto tra RG e SRG \`e di
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circa un'ordine di grandezza.
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\break
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Si nota inoltre come l'aumento delle tipologie di slave non abbia influenzato lo spazio degli
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stati quanto l'aumento delle tipologie di master.
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{ |p{3cm}||p{3cm}||p{3cm}| }
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\hline
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|
\multicolumn{3}{|c|}{Effetto delle tipologie di slave sul numero di markings} \\
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\hline
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Tipologie Slave & Markings RG & Markings SRG \\
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\hline
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2 & 768 & 432 \\
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3 & 2688 & 864 \\
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4 & 7168 & 1440 \\
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5 & 22528 & 2160 \\
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6 & 56320 & 3024 \\
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7 & 163840 & 4032 \\
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8 & 393216 & 5184 \\
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9 & 1081344 & 6480 \\
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\hline
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\hline
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\end{tabular} \\
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\caption{Variazione dello spazio degli stati.}
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\label{tab:reteE}
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\end{table}
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\subsection{Considerazioni sulla Join}
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La rete utilizza due classi di colori e un color domain che \`e dato dal prodotto vettoriale
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delle due classi, permettendo cos\i` una differenziazione precisa delle richieste da parte
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dello slave, che le utilizza come una tuple $<m,id>$.
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Per ottenere una Join tra due processi che non sono stati creati dalla stessa Fork, bisogna
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che siano presenti nei posti Child1, Child2 due sottoprocessi (per posto) che abbiano:
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\begin{description}
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\item{1.} Lo stesso tipo di master $m_i$
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\item{2.} Lo stesso tipo di slave $ID_i$
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\end{description}
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Questo si verifica solo nel caso in cui vi siano pi\`u master e slave dello stesso tipo,
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ovvero con $N > 1$ e $R_1 > 1 || R_2 > 1$.
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In tutti gli altri casi, le Join sono eseguite solo tra due sottoprocessi figli della stessa
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Fork.
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\end{document}
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