diff --git a/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_067bd3e46d275c35d7eed76d72ba8c5ef3b78801.png b/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_067bd3e46d275c35d7eed76d72ba8c5ef3b78801.png
new file mode 100644
index 0000000..add44c8
Binary files /dev/null and b/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_067bd3e46d275c35d7eed76d72ba8c5ef3b78801.png differ
diff --git a/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_a4e1ea0aa3ebbd6c0df33c1794b3738079adcdfd.png b/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_a4e1ea0aa3ebbd6c0df33c1794b3738079adcdfd.png
new file mode 100644
index 0000000..9bbf0e6
Binary files /dev/null and b/anno3/apprendimento_automatico/ltximg/org-ltximg_a4e1ea0aa3ebbd6c0df33c1794b3738079adcdfd.png differ
diff --git a/anno3/apprendimento_automatico/preparazione.org b/anno3/apprendimento_automatico/preparazione.org
index 55eca08..23f9d0a 100644
--- a/anno3/apprendimento_automatico/preparazione.org
+++ b/anno3/apprendimento_automatico/preparazione.org
@@ -6,8 +6,8 @@ nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati
 *** Probabilistic classifier
 Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente
 regola:
-- Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X)$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))}$ =
-  $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
+- Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X) = argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))} =
+  argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
 - Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)
 *** Features
 Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare
@@ -335,7 +335,7 @@ mai viste.
   algorithm L dopo il training su D_c
   Permette di trasformare un sistema induttivo in deduttivo
 ** TODO Path Through hyp. space
-Vedi che vuole sapere
+Vedi che vuole sapere.
 ** TODO Trees (manca ranking e regression trees)
 I decision tree sono molto espressivi e corrispondono a proposizioni
 logiche in DNF.
@@ -412,7 +412,66 @@ Il best split minimizza l'impurita` dei subset D₁, ..., Dₗ.
 - Gli alberi possono diventare rankers se imparano un ordinamento per
   i segmenti
 - Le foglie devono essere ordinate
+Sfruttando la distribuzione delle classi nelle foglie possiamo
+trasformare il feature tree in:
+1. ranking tree: se ordiniamo le foglie in base alle probabilita`
+   empiriche
+2. probability estimator
+3. classifier: scegliendo le condizioni operative come conseguenza
+   della proporzione della frequenza sulle classi:
+   + clr = Pos/Neg
+   + c = Cfn / Cfp
+   + slope: 1/(c·clr)
+TODO: Esercizi su Ranking trees e costi: 193
+*** Prune Tree
+- PruneTree(T,D)
+#+BEGIN_SRC
+inputs: decision tree T; labelled data D
+for every INTERNAL node N ∈T, partendo dal basso:
+Tₙ ← subtree of T with N as root
+Dₙ ← {x∈D | x is covered by N}
+se l'accuracy di Tₙ su Dₙ e` peggiore della majority class in Dₙ :
+    sostituisci Tₙ in T con una foglia marcata con la maj. class di Dₙ
 
+ritorna versione pruned di T
+#+END_SRC
+Invece di fare pruning si puo` introdurre un'errore di
+generalizzazione (penalita` k su foglie) calcolato sul training set.
+Non viene generata una foglia se non decrementa l'errore del padre di
+almeno k+1.
+TODO: Vedi come vengono stimati gli errori di generalizzazione sul
+libro
+TODO: vedi conseguenze inflation
+*** Regression Trees
+Possiamo inquadrare il problema del tree learning come un problema di
+minimizzazione della varianza (o standard deviation nel caso di sqrt
+GINI) sulle foglie:
+| Var(Y) = 1/|Y| ∑(y-y̱)²     y̱ e` y_predict
+l'average della varianza e` la varianza moltiplicata per la
+frequenza |Yⱼ|/|Y|.
+- Nei problemi di regressione i valori del dominio di Y sono continui
+- in BestSplit possiamo sostituire l'impurezza con la varianza
+  + Label(Y) = mean value dei valori di Y raccolte dalla foglia
+  + Homogeneous(Y) = true se la varianza e` sotto la soglia
+- i regression tree son suscettibili all'overfitting in caso di pochi
+  esempi
+*** Clustering Trees
+- usiamo Dis: X×X ↦ R
+- BestSplit usa l'average di Dis su ∀x₁,x₂
+- nel caso di vettori di features X⊆Rᵈ la somma della varianza sulle
+  features e` la distanza euclidea
+- Complessita`:
+  + average squared distance = 2 volte la varianza
+  + Var(x)
+  + average vector delle distanze e Varᵢ(X)
+  + O(|D|)
+Note:
+- Cluster piccoli: overfitting 
+- outliers possono essere rimossi
+- si possono rimuovere degli splits nei livelli piu` bassi
+  dell'albero: ~pruning~
+- label attraverso most representative instance: medoid (lowest total
+  dissimilarity)
 ** Rules
 Ordered rules are a chain of /if-then-else/.
 #+BEGIN_SRC
@@ -474,6 +533,14 @@ coverage non convessa.
 I sottogruppi sono un subset dell'instance space la cui class
 distribution e` differente da quella di D.
 Mapping ĝ: X → C; D = (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ
+Precisione e average recall non sono sempre coincidono sulla
+classificazione dei sottogruppi:
+- Precision: focalizzato sui positivi
+- avg recall: no fuoco
+Nella subgroup discovery siamo interessati a imparare piu` di una
+regola per individuare un gruppo omogeneo: weighted covering.
+Si da un peso ad ogni esempio e lo si riduce ogni volta che si trova
+una regola che lo copre.
 ** Distance models
 La distanza e` una misura di similarita`: minore la distanza, maggiore
 la similarita`.
@@ -539,7 +606,7 @@ Dato Sum of Squared Error
 - Between cluster Sum of Squares: $BSS = \sum_i |C_i|(m-m_i)^2$
 BSS + WSS e` costante. Il problema dei K-Means consiste nel trovare
 una soluzione che minimizza WSS (o massimizza BSS): cluster coesi.
-*** Algoritmo di LLoyd
+*** Algoritmo di Lloyd
 - Itera partizionando in base al centroide e ricalcola il centroide.
 - Converge ad un punto stazionario ma non garantisce che la soluzione
   sia il minimo globale.
@@ -603,7 +670,7 @@ repeat
 until no change in D₁,...,Dₖ
 return D₁, ..., Dₖ
 #+END_SRC
-- Cosine similarity: $cos θ = \frac{x\cdot y}{\Vert{x}\Vert \cdot
+- Cosine similarity: $cos \theta = \frac{x\cdot y}{\Vert{x}\Vert \cdot
   \Vert{y} \Vert} = \frac{K(x,y)}{\sqrt{K(x,x)\times K(y,y)}}$
 ** 5-cross validation
 dividi il dataset in 5 partizioni, 4 per il training set 1 per il test
diff --git a/todo.org b/todo.org
index 4f7b265..bfafda5 100644
--- a/todo.org
+++ b/todo.org
@@ -22,14 +22,15 @@
     + [ ] Sum of squared error
     + [ ] Silhouttes
     + [ ] Rivedi kernelization
-- [ ] Esposito [0/3]
+- [ ] Esposito [0/4]
   + [ ] (w_0,w_1) ortogonale all'iperpiano
   + [ ] dimostrazione dualita` grangiana
   + [ ] Mercer condition
   + [ ] kernel semidefinito
-- [ ] Meo [0/3]
+- [-] Meo [1/5]
   + [ ] Vedi bene gini index
-  + [ ] Ranking e regression trees
+  + [X] Ranking e regression trees
+  + [ ] errori di generalizzazione e TODO ranking tree
   + [ ] subgroup discovery and ongoing
   + [ ] Voronoi
   + [ ] Proximity graph for measuring clusters