#+TITLE:   Esercizio Definizioni Matematiche
#+AUTHOR:   Francesco Mecca
#+EMAIL:    me@francescomecca.eu
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* Insiemi
** Numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
ovvero tutti i numeri maggiori  o uguali a 0.

Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
Von Neumann:

- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
  | successore(n) = n ∪ {n}
- 0 = ∅
- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}

** Numeri interi

I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.

Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
come {n \vert{} ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}

** Numeri razionali

I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
non termina (numeri irrazionali).

** Intersezione

L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
gli elementi in comune fra i due insiemi:
| A∩B = {x \vert{} x∈A ∧ x∈B}

** Unione

L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
gli elementi dei due insiemi:
| A∩B = {x \vert{} x∈A ∨ x∈B}

** Differenza

La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
non non contenuti nell'insieme a destra:
| A \\ B = {x \vert{} x∈A ∧ x∉B}

** Insieme Potenza

L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.

** Complemento di un insieme
Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
| Aᶜ = {a \vert{} a∉A}

** Insieme contenuto

Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
loro volta elementi di B:
| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B

** Insieme strettamente contenuto

Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
appartengono ad A:
| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B \vert{} b∉A)

** Prodotto Cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
| A × B = {(a, b) \vert{} a∈A ∧ b∈B} 

** Arietà n
Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ

** Relazione binaria

Si definisce una relazione R binaria quando R ha arietà 2:
| R ⊆ A₁×A₂
** Proprieta` riflessiva
Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
relazione riflessiva se:
| ∀a∈A, aRa

** Proprieta` simmetrica
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
relazione simmetrica se:
| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa

** Proprieta` transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
relazione transitiva se:
| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc

** Relazione di equivalenza
Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
e transitiva si dice relazione d'equivalenza.

** Chiusura transitiva

Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
contiene R:
| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
** Funzione
Definiamo funzione una relazione fra due insiemi A e B che associa un elemento
dell'insieme A ad esattamente un elemento dell'insieme B:
| f: X↦Y
** Funzione di arietà n
Possiamo definire una funzione di arietà n su un insieme S come:
| f: Sⁿ↦S
** Funzione iniettiva
Una funzione f: X↦Y si dice iniettiva quando presi due elementi
dell'insieme X, se la loro immagine e` uguale (f(x)), allora i due elementi
sono uguali:
| ∀x,x'∈X, f(x) = f(x') → x = x'
** Funzione suriettiva
Una funzione f: X↦Y si dice suriettiva quando preso qualunque elemento
di Y, questo ha una controimmagine x in X:
| ∀y∈Y, ∃x∈X| f(x) = y
** Funzione biettiva
Chiamiamo una funzione biettiva quando e` allo stesso tempo iniettiva
e suriettiva.

* Linguaggi
** Alfabeto
Un alfabeto e` un insieme i cui membri sono simboli (che includono
lettere, caratteri e numeri). Se L e` un linguaggio formale, ossia un
set finito o infinito di stringhe di finita lunghezza, allora
l'alfabeto di L, indicato con Σ, e` l'insieme di tutti i simboli
che possono comparire in una qualunque stringa di L.
** Stringa
Una stringa e` una sequenza finita di simboli di un alfabeto.
** Lettera
Una lettera di una string e` un simbolo dell'alfabeto.
** Stringa vuota
Una stringa vuota e` una stringa di lunghezza zero, anche detta ε.
** Concatenazione
La concatenazione di stringhe e` l'operazione di unione dei caratteri
di due stringhe preservando il loro ordine.
** Ripetizione
Si dice ripetizione l'operazione di concatenazione di una stringa con
n copie di se` stessa.
** Prefisso
Si dice prefisso di una stringa la sottostringa che appare all'inizio
della stringa.
** Suffisso
Si dice suffisso di una stringa la sottostringa che appare alla fine
della stringa.

* Grafi
Un grafo e` una coppia ordinata G = (V,E) che
comprende un insieme V di vertici e un insieme E di coppie (e,v).

** Grafo diretto
Un grafo diretto e` un
grafo in cui gli archi hanno orientamento.

** Grafo indiretto
Un grafo indiretto o semplice e` un grafo in cui gli archi non hanno
orientamento, ovvero:
| ∀x,y∈V, (x,y) = (y,x)

** Grafo bipartito

Un grafo si dice bipartito quando l'insieme di vertici V può
essere diviso in due insiemi disgiunti e indipendenti W e X, di modo
che ogni arco connetta un vertice in W con un vertice in X e si scrive
G = (W,X,E):
| V = W∪X ∧ W∩X = ∅

** Nodo sorgente
Un nodo si dice sorgente quando il numero di archi
in ingresso e` 0.
** Nodo destinazione
Un nodo si dice destinazione quando il numero di archi in uscita e` 0.

** Funzione di etichettatura per archi e nodi
In un generico grafo G, e` possibile definire funzioni di
etichettatura o di colorazione dei nodi come, dato un insieme di
etichette S:
| f: V↦S Definendo un insieme di

** Cammino
Si dice cammino una sequenza di archi che collega una sequenza di
vertici distinti.
** Ciclo
Si definisce ciclo un cammino in cui il primo e l'ultimo vertice
coincidono mentre tutti gli altri vertici si ripetono al piu` una
volta.
** Lunghezza del cammino 
Si definisce lunghezza il numero di archi che compongono un cammino.
In un grafo pesato la lunghezza di un cammino e` costituita dalla
somma del peso di ogni arco che lo compone.
Un cammino in un grafo e` una sequenza finita o infinita di archi che
collegano una sequenza di vertici distinti l'uno dall'altro. Un
cammino di lunghezza $k$ e` rappresentato da una sequenza alternata di
$k$ vertici ed archi.\\ $v_0,e_0,v_1,e_1,\,...\,v_{k-1},e_{k-1},v_k$

** Grafi fortemente connesso
Un grafo diretto si dice fortemente connesso se ogni vertice e`
raggiungibile da ogni altro vertice.
** Componenti fortemente connesse
Si dicono componenti fortemente connesse le partizioni di un grafo
diretto che sono fortemente connesse.

** BSCC - Bottom Strongly Connected Component
Una componente fortemente connessa si dice BSCC quando nessun vertice
al di fuori della BSCC e` raggiungibile.
** Albero
Si dice albero un grafo indiretto in cui ogni coppia di vertici e`
connessa da solo un arco.
Ogni grafo indiretto, connesso e aciclico e` un albero.
** In e out degree di un nodo
Si dice in degree, /indeg⁻(v)/, di un nodo il numero di archi entranti in quel
nodo.
Si dice out degree, /outdeg⁺(v)/, di un nodo il numero di archi uscenti da quel
nodo.

* Matrice
Una matrice e` un vettore bidimensionale di numeri o altri oggetti.
La dimensione n×m e` data dal numero di righe /n/ e il numero di colonne /m/.
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots    \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & p_{n,m} \\
\end{pmatrix}
= (a_{ij})\in{R^{m\times{n}}}
\end{equation*}

** Somma
La somma A+B di due matrici A, B e` definito come:
| (A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij}
** Prodotto
Definiamo il prodotto scalare di una matrice A per un fattore /c/
come:
| (cA_{ij}) = c·A_{ij}
Definiamo il prodotto fra una matrice A di dimensione |nₐ×mₐ| e una
matrice B di dimensione |n_{b}×m_{b}| quando mₐ=n_{b} come:
| AB_{ij} = ∑_{r=1}^{n} a_{ir}b_{rj}
Dato un vettore $\vec{v}$ possiamo calcolare il prodotto di vettore per
matrice considerando il vettore una matrice colonna e applicando lo
stessa definizione del prodotto fra matrici (quindi la lunghezza di
$\vec{x}$ dovra` essere pari al numero di colonne della matrice).