#+TITLE:   Esercizio CPN
#+AUTHOR:   Francesco Mecca
#+EMAIL:    me@francescomecca.eu
#+LANGUAGE: en
#+LaTeX_CLASS: article
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* Rete E

#+CAPTION: Rete E
[[./reteE.jpg]]

I master sono modellati dai posti Richiesta, Attesa e Elabora. Lo slave
di tipo 1 e` modellato dai posti S0, S1_a, S2_a, S1_a, S1_b e S3. Lo
slave di tipo 2 e` modellato dai posti R0, R1, R2 e R3.
La richiesta agli slave e` modellata attraverso due posti: Buffer_Input, Buffer_output.

La classe di colori utilizzata e` Master, che permette di distinguere
i tre master /m1, m2, m3/, mentre il color domain e` /m/ e viene
utilizzato in tutte le transizioni dove c'e` necessita` di distinguere
l'origine del marking.


** Reachability Graph

Le seguenti tabelle elencano la dimensione dello spazio degli stati al variare
del numero di master (N) e di slave (Sn e Rn).
| N | Sn, Rn | Marking RG | Marking SRG |
|---+--------+------------+-------------|
| 1 |      1 |       1024 |         232 |
| 1 |      2 |       4080 |         888 |
| 1 |      3 |       9280 |        2032 |
| 1 |      4 |      16480 |        3616 |
|---+--------+------------+-------------|
| 2 |      1 |      28480 |        5240 |
| 2 |      2 |     201708 |       35874 |
| 2 |      3 |     678240 |      119488 |
|---+--------+------------+-------------|
| 3 |      1 |     310400 |       54080 |
| 3 |      2 |    3151680 |      538380 |

L'utilizzo del Symbolic Reachability Graph permette di ridurre il
numero di marking di un fattore >4 .

** Reachability Graph al variare delle classi di colore

|  k | Marking RG | Marking SRG |
|----+------------+-------------|
|  3 |       1024 |         232 |
|  4 |       5632 |         460 |
|  5 |      29696 |         804 |
|  6 |     151552 |        1288 |
|  7 |     753664 |        1936 |
|  8 |    3670016 |        2772 |
|  9 |   17563648 |        3820 |
| 10 |   82837504 |        5104 |
La tabella mostra l'aumentare dei marking del Reachability Graph
all'aumentare delle classi di colore.
Benche` la crescita dello spazio degli stati sia lineare in entrambi i
casi, notiamo come lo spazio del SRG sia notevolmente piu` contenuto
dello spazio del RG.
Inoltre, il rapporto marking RG/SRG (dello stato degli spazi) aumenta
proporzionalmente al valore di k.

A conferma di quanto espresso, notiamo che anche con valori di
marcatura iniziale maggiore per il master e gli slave, notiamo lo
stesso effetto sul rapporto di marking RG/SRG (limitatamente alle
possibilita` di calcolo).
| N, Sn, Rn | k | Marking RG | Marking SRG |
|-----------+---+------------+-------------|
| 2, 2, 2   | 3 |     201708 |       35874 |
| 2, 2, 2   | 4 |    4190624 |      203136 |
| 2, 2, 2   | 5 |   78523200 |      875478 |

** Considerazioni su Fork/Join
Non puo` avvenire un join fra due processi con diverso padre quando:
- N = 1: sullo stesso spazio non puo` essere presente piu` di un token con lo
  stesso colore
- Sn = 1: in questo secondo caso, come nei precedenti esercizi,
  avviene un solo fork alla volta.

Di seguito viene mostrata un'esecuzione in cui e` possibile che
avvenga il join di due processi con lo diverso padre:
- con N > 1 consideriamo che nella rete vi siano al momento iniziale due
  token dello stesso colore "m0"
- entrambi i token vengono inseriti nel Buffer_input e in seguito
  inviati allo slave di tipo 1.
- quando Sn > 1 uno dei due token puo` eseguire lo scatto attraverso
  la transizione T3 prima che l'altro token arrivi alla transizione T6
  (in cui avviene il join).

* Rete F

#+CAPTION: Rete F
[[./reteF.jpg]]

I master sono modellati dai posti Richiesta, Attesa e Elabora. Gli slave
di tipo 1 sono modellato dai posti S0, S1_a, S2_a, S1_a, S1_b e S3.
La richiesta agli slave e` modellata attraverso due posti: Buffer_Input, Buffer_output.

Nella rete sono presenti due classi di colore:
- Master, che permette di distinguere i diversi master /m1, m2, m3/ 
- Slave, che permette di distinguere i due slaves /ID1/ e /ID2/
La classe Slave e` divisa in due sottoclassi, Slave1 e Slave2,
per facilitare in seguito la parametrizzazione degli slaves.
Anche la classe Master e` divisa in due sottoclassi utilizzate
nell'espressione booleane della transizione Fork.
Il /dominio D/ = /Master×Slave/ e` utilizzato per la multiplicity
degli archi fra fork e join, in modo da tener traccia delle richieste effettuate.


** Reachability Graph
Le seguenti tabelle elencano la dimensione dello spazio degli stati al variare
del numero di master (N) e di slave (Sn e Rn).
| N | R1, R2 | Marking RG | Marking SRG |
|---+--------+------------+-------------|
| 1 |      1 |        768 |         432 |
| 1 |      2 |       2560 |        1440 |
| 1 |      3 |       5376 |        3024 |
| 1 |      4 |       5184 |        9216 |
|---+--------+------------+-------------|
| 2 |      1 |      18720 |        9720 |
| 2 |      2 |      97696 |       50481 |
| 2 |      3 |     267120 |      137376 |
|---+--------+------------+-------------|
| 3 |      1 |     192000 |       97600 |
| 3 |      2 |    1309440 |      663520 |
Rispetto alla precedente rete, il rapporto stato degli spazi di RG/SRG
e` minore.

** Reachability Graph al variare delle classi di colore
La seguente tabella mostra l'incremento dello spazio degli stati
all'aumentare degli elementi della classe di color Master.
Come nella precedente rete, il rapporto marking RG/SRG aumenta
proporzionalmente alla cardinalita` della classe.
| \vert{}M1\vert{} | \vert{}M2\vert{} | Marking RG | Marking SRG |
|------------------+------------------+------------+-------------|
|                2 |                1 |        768 |         432 |
|                3 |                1 |       3840 |         960 |
|                2 |                2 |       4096 |        1296 |
|                3 |                2 |      20480 |        2880 |
|                3 |                3 |     102400 |        6400 |
|                4 |                3 |     491520 |       12000 |
|                4 |                4 |    2359296 |       22500 |
|                5 |                4 |   11010048 |       37800 |
|                5 |                5 |   51380224 |       63504 |
Nella seguente tabella viene evidenziato l'incremento dello stato
degli spazi all'aumentare degli elementi della classe di colore Slave.
| \vert{}Slave1\vert{} | \vert{}Slave2\vert{} | Marking RG | Marking SRG |
|----------------------+----------------------+------------+-------------|
|                    1 |                    1 |        768 |         432 |
|                    1 |                    2 |       2048 |         720 |
|                    2 |                    1 |       2688 |         864 |
|                    2 |                    2 |       7168 |        1440 |
|                    2 |                    3 |      17920 |        2016 |
|                    3 |                    2 |      22528 |        2160 |
|                    3 |                    3 |      56320 |        3024 |
|                    3 |                    4 |     135168 |        3888 |
|                    4 |                    3 |     163840 |        4032 |
|                    4 |                    4 |     393216 |        5184 |
|                    4 |                    5 |     917504 |        6336 |
|                    5 |                    4 |    1081344 |        6480 |
|                    5 |                    5 |    2523136 |        7920 |
Notiamo che l'alta cardinalita` della classe Slave abbia avuto un
impatto minore sulla dimensione del RG rispetto alla classe master.
Il rapporto RG/SRG segue quanto detto finora ed e` il piu` grande fra tutte le reti analizzate.


** Considerazioni su Fork/Join
Posso fare le stesse considerazioni che nella rete precedente (rete
E), tenendo in considerazione che avendo due diverse tipologie di
slave, un join fra due processi con padre diverso avverra` solo quando
| (R₁ > 1 ∨  R₂ > 1) ∧ N > 1