* Rete A
M master identici e S slave identici di tipo 1.

#+CAPTION: Modello della reteA
[[./reteA.jpg]]

La figura rappresenta la rete di Petri P/T dell'esercizio A. Il master
è modellato dai posti M0, M1, M2, M3 e dalle transizioni
Azione_Locale, Richiesta_Servizio, Attesa_Elaborazione e Reset_M
Lo slave è modellato dai posti S0, S1_a, S1_b, S2_a, S2_b e
S3 e dalle transizioni Inizio_Servizio, Azione_Locale_Sa,
Azione_Locale_Sb, Fine_Servizio e Reset_S. La richiesta del servizio
verso lo slave e` gestita attraverso due buffer, posti Buffer_Input e
posto Buffer_Output.

** Risultati
Nella tabella vengono mostrate il numero di archi e di nodi al variare
dei parametri M e S. Le cifre sono indicative dell'aumentare della
dimensione dello spazio degli stati proporzionalmente al numero di
marcature.

| master, slaves |    Nodi |    Archi |
|----------------+---------+----------|
| 1, 1           |      14 |       19 |
| 2, 2           |      94 |      222 |
| 3, 3           |     426 |      334 |
| 4, 4           |    1500 |     5610 |
| 5, 5           |    4422 |    18720 |
| 6, 6           |   11418 |    52998 |
| 7, 7           |   26598 |   132594 |
| 8, 8           |   57057 |   301158 |
| 9, 9           |  114400 |   632775 |
| 10, 10         |  216788 |  1246960 |
| 11, 11         |  391612 |  2328612 |
| 12, 12         |  678912 |  4153916 |
| 13, 13         | 1135668 |  7123272 |
| 14, 14         | 1841100 | 11802420 |
| 15, 15         | 2903124 | 18973020 |

** Considerazioni su Fork/Join
Il modello non garantisce che avvenga il join di due processi dello
stesso padre quando la marcatura degli slave e` maggiore di 2.
Si puo` garantire che avvenga il join di due processi forkati dallo
stesso padre nei seguenti modi:
- attraverso differenti strutture slaves
- permettendo l'elaborazione di una singola richiesta alla volta
  (modellato con degli archi inibitori)
- usando reti WN


** Riduzione
Una rete di petri puo` essere ridotta usando le seguendi tecniche:
- fusione
- eliminazione
- rimozione dei loop
Nelle figure vengono mostrate alcune fasi di riduzione della rete in
analisi; in ordine sono stati applicati:
- fusione di alcuni posti
- fusione di alcune transizioni
- eliminazione di alcuni posti
- eliminazione di alcune transizioni
- riduzione di self loop

[[./riduzioni/fusione1.jpg]]
[[./riduzioni/fusione2.jpg]]
[[./riduzioni/eliminazione1.jpg]]
[[./riduzioni/eliminazione2.jpg]]
[[./riduzioni/rimozione1.jpg]]
** TODO P e T invarianti
Tramite GreatSPN possiamo calcolare gli T- e P- semiflussi

[[./semiflowsAT.jpg]]
[[./semiflowsAP.jpg]]

Gli P-invarianti sono i seguenti:
| S0 + S1_a + S2_a + S3
| S0 + S1_b + S2_b + S3
| M0 + M1 + M2 + M3
| S1_a + S2_a + Buffer_output + Buffer_input + M0 + M1 + M3
| S1_b + S2_b + Buffer_output + Buffer_input + M0 + M1 + M3
Il T-invariante e` il seguento:
\[
Inizio_servizio + azione_locale_sa + azione_locale_sb + \\
Fine_servizio + Reset_s + azione_locale_m + Richiesta_servizio +  \\
Attesa_elaborazione + Reset_m + Reset_s
\]

Dato che la reteA e` interamente coperta dagli P-semiflussi, possiamo
affermare che la rete sia bounded.
[ ] Deadlock
[ ] Liveness

* Rete B
M master identici, uno slave di tipo 1 e uno slave di tipo 1 scelti
liberamente dai master.

#+CAPTION: Modello della reteB
[[./reteB.jpg]]

La figura rappresenta la rete di Petri P/T dell'esercizio B. Il master
è modellato dai posti M0, M1, M2, M3 e dalle transizioni
Azione_Locale, Richiesta_Servizio, Attesa_Elaborazione e Reset_M
Lo slave di tipo 1 è modellato dai posti S0, S1_a, S1_b, S2_a, S2_b e
S3 e dalle transizioni Inizio_Servizio, Azione_Locale_Sa,
Azione_Locale_Sb, Fine_Servizio e Reset_S. 
Lo slave di tipo 2 è modellato dai posti R0, R1_a, R1_b, R2_a, R2_b e
R3 e dalle transizioni Inizio_Servizio_R, Azione_Locale_R, Fine_Servizio e Reset_R. 
La richiesta del servizio
verso lo slave scelto e` gestita attraverso due buffer, posti
FreeChoice e Risultato.


** Risultati
| master, slaves |  Stati |  Archi |
|----------------+--------+--------|
| 1, 2           |     40 |     76 |
| 2, 2           |    204 |    544 |
| 3, 2           |    728 |   2400 |
| 4, 2           |   2072 |   7896 |
| 5, 2           |   5040 |  21336 |
| 6, 2           |  10920 |  50064 |
| 7, 2           |  21648 | 105648 |
| 8, 2           |  39996 | 205260 |
| 9, 2           |  69784 | 373252 |
| 10, 2          | 116116 | 642928 |

Parametrizzando anche il numero di slaves:
| master, slaves |   Stati |    Archi |
|----------------+---------+----------|
| 1, 2           |      40 |       76 |
| 2, 2           |     204 |      544 |
| 4, 4           |    7265 |    32674 |
| 6, 6           |  113464 |   664234 |
| 8, 8           | 1073226 |  7405654 |
| 10, 10         | 7212128 | 55762000 |

** Considerazioni su Fork/Join
Lo slave di tipo 1 processa una sola richiesta alla volta.
Il master in attesa del risultato (M2) potrebbe ricevere il risultato
di un lavoro richiesto da un altro master.

** TODO P e T invarianti
Tramite GreatSPN possiamo calcolare gli T- e P- semiflussi

[[./semiflowsBT.jpg]]
[[./semiflowsBP.jpg]]

Gli P-invarianti sono i seguenti:
| S0 + S1_a + S2_a + S3
| S0 + S1_b + S2_b + S3
| R0 + R1 + R2 + R3
| M0 + M1 + M2 + M3
| S1_a + S2_a + R1 + R2 + M0 + M1 + M3 + Freechoice + P0 + P1 + Risultato
| S1_b + S2_b + R1 + R2 + M0 + M1 + M3 + Freechoice + P0 + P1 + Risultbto
Gli T-invarianti sono i seguenti:
\[
Inizio_servizio_R + azione_locale_R + \\
Fine_servizio_R + Reset_R + azione_locale_m + Richiesta_servizio +  \\
Attesa_elaborazione + Reset_M + Scelta_2
\]
\[
Inizio_servizio_S + azione_locale_sa + azione_locale_sb + \\
Fine_servizio_S + Reset_s + azione_locale_m + Richiesta_servizio +  \\
Attesa_elaborazione + Reset_m + Scelta_1
\]

Dato che la reteB e` interamente coperta dagli P-semiflussi, possiamo
affermare che la rete sia bounded.
[ ] Deadlock
[ ] Liveness

* Rete C
Due master identici, uno slave di tipo 1 e uno slave di tipo 1 scelti
liberamente dai master.

#+CAPTION: Modello della reteC
[[./reteC.jpg]]

La figura rappresenta la rete di Petri P/T dell'esercizio C. Il master
è modellato dai posti M0, M1, M2, M3 e dalle transizioni
Azione_Locale, Richiesta_Servizio, Attesa_Elaborazione e Reset_M
Lo slave di tipo 1 è modellato dai posti S0, S1_a, S1_b, S2_a, S2_b e
S3 e dalle transizioni Inizio_Servizio, Azione_Locale_Sa,
Azione_Locale_Sb, Fine_Servizio e Reset_S (il secondo master e` una
copia del primo). 
Lo slave di tipo 2 è modellato dai posti R0, R1_a, R1_b, R2_a, R2_b e
R3 e dalle transizioni Inizio_Servizio_R, Azione_Locale_R, Fine_Servizio e Reset_R. 
La richiesta del servizio
verso lo slave scelto e` gestita attraverso due buffer, posti
FreeChoice e Risultato.
** TODO P e T invarianti
Tramite GreatSPN possiamo calcolare gli T- e P- semiflussi

[[./semiflowsCT.jpg]]
[[./semiflowsCP.jpg]]

Gli P-invarianti sono i seguenti:
- S0 + S1ₐ + S2ₐ + S3
- S0 + S1_{b} + S2_{b} + S3
- R0 + R1 + R2 + R3
- M0 + M1 + M2 + M3
- copy_M0 + copy_M1 + copy_M2 + copy_M3
- S1ₐ + S2ₐ + R1 + R2 + M0 + M1 + M3 + Freechoice + P0 + P1 +
  Risultato + copy_M0 + copy_M1 + copy_M3
- S1_{b} + S2_{b} + R1 + R2 + M0 + M1 + M3 + Freechoice + P0 + P1 +
  Risultato + copy_M0 + copy_M1 + copy_M3

Gli T-invarianti sono i seguenti:
- Inizio_Servizioᵣ + Azione_Locale + Fine_Servizioᵣ + T3 +
  azione_localeₘ + Richiesta_Servizio + Attesa_Elaborazione + Reset_M + Scelta₁
- Inizio_Servizioₛ + Azione_Locale_{sa} + Azione_Locale_{sb} + Fine_Servizioₛ + T3 +
  azione_localeₘ + Richiesta_Servizio + Attesa_Elaborazione +
  Reset_M + Scelta₁
- Inizio_Servizioᵣ + Azione_Locale + Fine_Servizioᵣ + T3 + Scelta₂ +
  copyₐzione_localeₘ + copy_Richiesta_Servizio +
  copy_Attesa_Elaborazione + copy_Resetₘ
- Inizio_Servizioₛ + Azione_Locale_{sa} + Azione_Locale_{sb} +
  Fine_Servizioₛ + Reset + Scelta₁ + copy_azione_localeₘ +
  copy_Richiesta_Servizio + copy_Attesa_Elaborazione + copy_Resetₘ

[ ] Deadlock
[ ] Liveness

* Rete D
Due master identici, uno slave di tipo 1 e uno slave di tipo 1 scelti
associati ciascuno ad un master diverso.

#+CAPTION: Modello della reteD
[[./reteD.jpg]]

** P e T invarianti
Tramite GreatSPN possiamo calcolare gli T- e P- semiflussi

[[./semiflowsDT.jpg]]
[[./semiflowsDP.jpg]]

Gli P-invarianti sono i seguenti:
- S0 + S1ₐ + S2ₐ + S3
- S0 + S1_{b} + S2_{b} + S3
- R0 + R1 + R2 + R3
- M0 + M1 + M2 + M3
- S1ₐ + S2ₐ + M0 + M1 + M3 + Bufferₛ + Risultato
- S1_{b} + S2_{b} + M0 + M1 + M3 + Bufferₛ + Risultato
- M0₂ + M1₂ + M3₂
- R1 + R2 + M0₂ + M1₂ + M3₂ + Buffer₂ + Risultato₂
Gli T-invarianti sono i seguenti:
- Inizio_Servizioₛ + azione_locale_{sa} + azione_locale_{sb} +
  Fine_Servizioₛ + Reset + azione_localeₘ + Richiesta_Servizio +
  Attesa_Elaborazione + Resetₘ
- Inizio_Servizioᵣ + Azione_locale + Fine_Servizioᵣ + T3
  azione_locale_{m2} + Richiesta_Servizio₂ + Attesa_Elaborazione₂ + Reset_{m2}
** Decision Diagram
L'efficacia dei decision diagram sulla generazione dello stato degli
spazi dipende fortemente dall'ordine delle variabili.
Di seguito vengono mostrati i decision diagram usando per le
assegnazioni i seguenti algoritmi:
- Sloan: un algoritmo di riduzione della banda di matrici sparse con
  una buona performance
- (advanced) Cuthill-McKee: un altro algoritmo di riduzione della banda di
  matrici sparse
-  Tovchigrechko e Noack: due algoritmo appositamente ideati per le reti
  di Petri, anch'essi con una buona performance
- P-chaining: un algoritmo che sfrutta le informazioni strutturali
  della rete ma ha una bassa performance
- Gradient-P
- Gibbs-Poole-Stockmeier: un altro algoritmo matriciale che nella rete
  in analisi ha restituito il risultato peggiore
 
[[./diagrammi/sloan.jpg]]
[[./diagrammi/mckee.jpg]]
[[./diagrammi/tovchi.jpg]]
[[./diagrammi/noack.jpg]]
[[./diagrammi/p-chain.jpg]]
[[./diagrammi/gradient.jpg]]
[[./diagrammi/gibbs.jpg]]