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* Definizioni

** Numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
ovvero tutti i numeri maggiori  o uguali a 0.

Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
Von Neumann:

- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
    | successore(n) = n ∪ {n}
- 0 = ∅
- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}


** Numeri interi

I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.

Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}


** Numeri razionali

I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
non termina (numeri irrazionali).


** Intersezione

L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
gli elementi in comune fra i due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}

** Unione

L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
gli elementi dei due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B}

** Differenza

La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
non non contenuti nell'insieme a destra:
| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B}

** Insieme Potenza

L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.

** Complemento di un insieme
Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
| Aᶜ = {a | a∉A}

** Insieme contenuto

Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
loro volta elementi di B:
| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B

** Insieme strettamente contenuto

Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
appartengono ad A:
| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A)

** Prodotto Cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B} 

** Arieta` n
Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ

** Relazione binaria

Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
| R ⊆ A₁×A₂
** Proprieta` riflessiva
Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
relazione riflessiva se:
| ∀a∈A, aRa

** Proprieta` simmetrica
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
relazione simmetrica se:
| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa

** Proprieta` transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
relazione transitiva se:
| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc

** Relazione di equivalenza
Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
e transitiva si dice relazione d'equivalenza.

** Chiusura transitiva

Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
contiene R:
| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺