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- Definizioni
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Intersezione
- Unione
- Differenza
- Insieme Potenza
- Complemento di un insieme
- Insieme contenuto
- Insieme strettamente contenuto
- Prodotto Cartesiano
- Arieta` n
- Relazione binaria
- Proprieta` riflessiva
- Proprieta` simmetrica
- Proprieta` transitiva
- Relazione di equivalenza
- Chiusura transitiva
Definizioni
Numeri naturali
I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ, ovvero tutti i numeri maggiori o uguali a 0.
Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di Von Neumann:
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definifiamo la funzione successore(n) come:
successore(n) = n ∪ {n} - 0 = ∅
- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, …, n-1}
Numeri interi
I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ, ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
Numeri razionali
I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ, ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e non termina (numeri irrazionali).
Intersezione
L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente gli elementi in comune fra i due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B} |
Unione
L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente gli elementi dei due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B} |
Differenza
La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma non non contenuti nell'insieme a destra:
| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B} |
Insieme Potenza
L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e` l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
Complemento di un insieme
Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
| Aᶜ = {a | a∉A} |
Insieme contenuto
Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a loro volta elementi di B:
| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B |
Insieme strettamente contenuto
Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non appartengono ad A:
| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A) |
Prodotto Cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B} |
Arieta` n
Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
| R ⊆ A₁×A₂×…×Aₙ |
Relazione binaria
Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
| R ⊆ A₁×A₂ |
Proprieta` riflessiva
Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una relazione riflessiva se:
| ∀a∈A, aRa |
Proprieta` simmetrica
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una relazione simmetrica se:
| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa |
Proprieta` transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una relazione transitiva se:
| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc |
Relazione di equivalenza
Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
Chiusura transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che contiene R:
| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal)) |
Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺