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* Definizioni
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** Numeri naturali
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I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
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ovvero tutti i numeri maggiori o uguali a 0.
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Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
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Von Neumann:
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- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
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| successore(n) = n ∪ {n}
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- 0 = ∅
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- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
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- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
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- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
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- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}
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** Numeri interi
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I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
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ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
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Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
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come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
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** Numeri razionali
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I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
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ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
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come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
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non termina (numeri irrazionali).
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** Intersezione
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L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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gli elementi in comune fra i due insiemi:
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| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}
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** Unione
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L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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gli elementi dei due insiemi:
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| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B}
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** Differenza
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La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
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non non contenuti nell'insieme a destra:
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| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B}
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** Insieme Potenza
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L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
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l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
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** Complemento di un insieme
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Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
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tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
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| Aᶜ = {a | a∉A}
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** Insieme contenuto
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Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
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loro volta elementi di B:
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| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B
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** Insieme strettamente contenuto
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Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
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loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
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appartengono ad A:
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| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A)
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** Prodotto Cartesiano
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Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
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le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
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insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
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| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B}
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** Arieta` n
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Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
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a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
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| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ
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** Relazione binaria
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Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
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| R ⊆ A₁×A₂
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** Proprieta` riflessiva
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Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
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relazione riflessiva se:
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| ∀a∈A, aRa
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** Proprieta` simmetrica
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
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relazione simmetrica se:
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| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa
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** Proprieta` transitiva
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
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relazione transitiva se:
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| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc
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** Relazione di equivalenza
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Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
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e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
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** Chiusura transitiva
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
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transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
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contiene R:
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| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
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Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
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