2020-04-25 11:47:51 +02:00
|
|
|
|
* Insiemi
|
2020-04-24 23:46:19 +02:00
|
|
|
|
** Numeri naturali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
|
|
|
|
|
ovvero tutti i numeri maggiori o uguali a 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
|
|
|
|
|
Von Neumann:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
|
|
|
|
|
| successore(n) = n ∪ {n}
|
|
|
|
|
- 0 = ∅
|
|
|
|
|
- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
|
|
|
|
|
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
|
|
|
|
|
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
|
|
|
|
|
- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Numeri interi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
|
|
|
|
|
ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
|
|
|
|
|
come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Numeri razionali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
|
|
|
|
|
ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
|
|
|
|
|
come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
|
|
|
|
|
non termina (numeri irrazionali).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Intersezione
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
|
|
|
|
|
gli elementi in comune fra i due insiemi:
|
|
|
|
|
| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Unione
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
|
|
|
|
|
gli elementi dei due insiemi:
|
|
|
|
|
| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Differenza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
|
|
|
|
|
tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
|
|
|
|
|
non non contenuti nell'insieme a destra:
|
2020-05-21 13:57:43 +02:00
|
|
|
|
| A \\ B = {x | x∈A ∧ x∉B}
|
2020-04-24 23:46:19 +02:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Insieme Potenza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
|
|
|
|
|
l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Complemento di un insieme
|
|
|
|
|
Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
|
|
|
|
|
tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
|
|
|
|
|
| Aᶜ = {a | a∉A}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Insieme contenuto
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
|
|
|
|
|
loro volta elementi di B:
|
|
|
|
|
| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Insieme strettamente contenuto
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
|
|
|
|
|
loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
|
|
|
|
|
appartengono ad A:
|
|
|
|
|
| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Prodotto Cartesiano
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
|
|
|
|
|
le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
|
|
|
|
|
insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
|
|
|
|
|
| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Arieta` n
|
|
|
|
|
Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
|
|
|
|
|
a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
|
|
|
|
|
| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Relazione binaria
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
|
|
|
|
|
| R ⊆ A₁×A₂
|
|
|
|
|
** Proprieta` riflessiva
|
|
|
|
|
Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
|
|
|
|
|
relazione riflessiva se:
|
|
|
|
|
| ∀a∈A, aRa
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Proprieta` simmetrica
|
|
|
|
|
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
|
|
|
|
|
relazione simmetrica se:
|
|
|
|
|
| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Proprieta` transitiva
|
|
|
|
|
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
|
|
|
|
|
relazione transitiva se:
|
|
|
|
|
| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Relazione di equivalenza
|
|
|
|
|
Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
|
|
|
|
|
e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Chiusura transitiva
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
|
|
|
|
|
transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
|
|
|
|
|
contiene R:
|
|
|
|
|
| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
|
|
|
|
|
Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
|
2020-04-25 11:47:51 +02:00
|
|
|
|
** Funzione
|
|
|
|
|
Definiamo funzione una relazione fra due insiemi A e B che associa un elemento
|
|
|
|
|
dell'insieme A ad esattamente un elemento dell'insieme B:
|
|
|
|
|
| f: X↦Y
|
|
|
|
|
** Funzione di arieta` n
|
|
|
|
|
Possiamo definire una funzione di arieta` n su un insieme S come:
|
|
|
|
|
| f: Sⁿ↦S
|
|
|
|
|
** Funzione iniettiva
|
|
|
|
|
Una funzione f: X↦Y si dice iniettiva quando presi due elementi
|
|
|
|
|
dell'insieme X, se la loro immagine e` uguale (f(x)), allora i due elementi
|
|
|
|
|
sono uguali:
|
|
|
|
|
| ∀x,x'∈X, f(x) = f(x') → x = x'
|
|
|
|
|
** Funzione suriettiva
|
|
|
|
|
Una funzione f: X↦Y si dice suriettiva quando preso qualunque elemento
|
|
|
|
|
di Y, questo ha una controimmagine x in X:
|
|
|
|
|
| ∀y∈Y, ∃x∈X| f(x) = y
|
|
|
|
|
** Funzione biettiva
|
|
|
|
|
Chiamiamo una funzione biettiva quando e` allo stesso tempo iniettiva
|
|
|
|
|
e suriettiva.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Linguaggi
|
|
|
|
|
** Alfabeto
|
|
|
|
|
Un alfabeto e` un insieme i cui membri sono simboli (che includono
|
|
|
|
|
lettere, caratteri e numeri). Se L e` un linguaggio formale, ossia un
|
|
|
|
|
set finito o infinito di stringhe di finita lunghezza, allora
|
|
|
|
|
l'alfabeto di L, indicato con Σ, e` l'insieme di tutti i simboli
|
|
|
|
|
che possono comparire in una qualunque stringa di L.
|
|
|
|
|
** Stringa
|
|
|
|
|
Una stringa e` una sequenza finita di simboli di un alfabeto.
|
|
|
|
|
** Lettera
|
|
|
|
|
Una lettera di una string e` un simbolo dell'alfabeto.
|
|
|
|
|
** Stringa vuota
|
|
|
|
|
Una stringa vuota e` una stringa di lunghezza zero, anche detta ε.
|
|
|
|
|
** Concatenazione
|
|
|
|
|
La concatenazione di stringhe e` l'operazione di unione dei caratteri
|
|
|
|
|
di due stringhe preservando il loro ordine.
|
|
|
|
|
** Ripetizione
|
|
|
|
|
Si dice ripetizione l'operazione di concatenazione di una stringa con
|
|
|
|
|
n copie di se` stessa.
|
|
|
|
|
** Prefisso
|
|
|
|
|
Si dice prefisso di una stringa la sottostringa che appare all'inizio
|
|
|
|
|
della stringa.
|
|
|
|
|
** Suffisso
|
|
|
|
|
Si dice suffisso di una stringa la sottostringa che appare alla fine
|
|
|
|
|
della stringa.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Grafi
|
|
|
|
|
Un grafo e` una coppia ordinata G = (V,E) che
|
|
|
|
|
comprende un insieme V di vertici e un insieme E di coppie (e,v).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Grafo diretto
|
|
|
|
|
Un grafo diretto e` un
|
|
|
|
|
grafo in cui gli archi hanno orientamento.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Grafo indiretto
|
|
|
|
|
Un grafo indiretto o semplice e` un grafo in cui gli archi non hanno
|
|
|
|
|
orientamento, ovvero:
|
|
|
|
|
| ∀x,y∈V, (x,y) = (y,x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Grafo bipartito
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un grafo si dice bipartito quando l'insieme di vertici V può
|
|
|
|
|
essere diviso in due insiemi disgiunti e indipendenti W e X, di modo
|
|
|
|
|
che ogni arco connetta un vertice in W con un vertice in X e si scrive
|
|
|
|
|
G = (W,X,E):
|
|
|
|
|
| V = W∪X ∧ W∩X = ∅
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Nodo sorgente
|
|
|
|
|
Un nodo si dice sorgente quando il numero di archi
|
|
|
|
|
in ingresso e` 0.
|
|
|
|
|
** Nodo destinazione
|
|
|
|
|
Un nodo si dice destinazione quando il numero di archi in uscita e` 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Funzione di etichettatura per archi e nodi
|
|
|
|
|
In un generico grafo G, e` possibile definire funzioni di
|
|
|
|
|
etichettatura o di colorazione dei nodi come, dato un insieme di
|
|
|
|
|
etichette S:
|
|
|
|
|
| f: V↦S Definendo un insieme di
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Cammino
|
|
|
|
|
Si dice cammino una sequenza di archi che collega una sequenza di
|
|
|
|
|
vertici distinti.
|
|
|
|
|
** Ciclo
|
|
|
|
|
Si definisce ciclo un cammino in cui il primo e l'ultimo vertice
|
|
|
|
|
coincidono mentre tutti gli altri vertici si ripetono al piu` una
|
|
|
|
|
volta.
|
|
|
|
|
** Lunghezza del cammino
|
|
|
|
|
Si definisce lunghezza il numero di archi che compongono un cammino.
|
|
|
|
|
In un grafo pesato la lunghezza di un cammino e` costituita dalla
|
|
|
|
|
somma del peso di ogni arco che lo compone.
|
|
|
|
|
Un cammino in un grafo e` una sequenza finita o infinita di archi che
|
|
|
|
|
collegano una sequenza di vertici distinti l'uno dall'altro. Un
|
|
|
|
|
cammino di lunghezza $k$ e` rappresentato da una sequenza alternata di
|
|
|
|
|
$k$ vertici ed archi.\\ $v_0,e_0,v_1,e_1,\,...\,v_{k-1},e_{k-1},v_k$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Grafi fortemente connesso
|
|
|
|
|
Un grafo diretto si dice fortemente connesso se ogni vertice e`
|
|
|
|
|
raggiungibile da ogni altro vertice.
|
|
|
|
|
** Componenti fortemente connesse
|
|
|
|
|
Si dicono componenti fortemente connesse le partizioni di un grafo
|
|
|
|
|
diretto che sono fortemente connesse.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** BSCC - Bottom Strongly Connected Component
|
|
|
|
|
Una componente fortemente connessa si dice BSCC quando nessun vertice
|
|
|
|
|
al di fuori della BSCC e` raggiungibile.
|
|
|
|
|
** Albero
|
|
|
|
|
Si dice albero un grafo indiretto in cui ogni coppia di vertici e`
|
|
|
|
|
connessa da solo un arco.
|
|
|
|
|
Ogni grafo indiretto, connesso e aciclico e` un albero.
|
|
|
|
|
** In e out degree di un nodo
|
|
|
|
|
Si dice in degree, /indeg⁻(v)/, di un nodo il numero di archi entranti in quel
|
|
|
|
|
nodo.
|
|
|
|
|
Si dice out degree, /outdeg⁺(v)/, di un nodo il numero di archi uscenti da quel
|
|
|
|
|
nodo.
|
2020-04-25 17:54:18 +02:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Matrice
|
|
|
|
|
Una matrice e` un vettore bidimensionale di numeri o altri oggetti.
|
|
|
|
|
La dimensione n×m e` data dal numero di righe /n/ e il numero di colonne /m/.
|
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
|
|
|
\begin{pmatrix}
|
2020-05-21 13:57:43 +02:00
|
|
|
|
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\
|
|
|
|
|
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\
|
|
|
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
|
|
|
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & p_{n,m} \\
|
2020-04-25 17:54:18 +02:00
|
|
|
|
\end{pmatrix}
|
2020-05-21 13:57:43 +02:00
|
|
|
|
= (a_{ij})\in{R^{m\times{n}}}
|
2020-04-25 17:54:18 +02:00
|
|
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** Somma
|
|
|
|
|
La somma A+B di due matrici A, B e` definito come:
|
|
|
|
|
| (A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij}
|
|
|
|
|
** Prodotto
|
|
|
|
|
Definiamo il prodotto scalare di una matrice A per un fattore /c/
|
|
|
|
|
come:
|
|
|
|
|
| (cA_{ij}) = c·A_{ij}
|
|
|
|
|
Definiamo il prodotto fra una matrice A di dimensione |nₐ×mₐ| e una
|
|
|
|
|
matrice B di dimensione |n_{b}×m_{b}| quando mₐ=n_{b} come:
|
|
|
|
|
| AB_{ij} = ∑_{r=1}^{n} a_{ir}b_{rj}
|
2020-05-21 13:57:43 +02:00
|
|
|
|
Dato un vettore $\vec{v}$ possiamo calcolare il prodotto di vettore per
|
2020-04-25 17:54:18 +02:00
|
|
|
|
matrice considerando il vettore una matrice colonna e applicando lo
|
|
|
|
|
stessa definizione del prodotto fra matrici (quindi la lunghezza di
|
2020-05-21 13:57:43 +02:00
|
|
|
|
$\vec{x}$ dovra` essere pari al numero di colonne della matrice).
|