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Rete di petri: grafo bipartito, Sistema: stato composito
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Rete colorata: cd: P∪T → C, Post[p,t]: cd(t) → bag(cd(p))
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| Transition system: <V, ∑, T, ∑₀, R (→)>
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* Semantiche:
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** Peled: (Induzione Strutturale)
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σⁱ il suffisso sᵢ, sᵢ₊₁, ... (σ⁰ = σ)
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| σⁱ ⊧ p, p is proposition if sᵢ ⊧ p
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** Katoen:
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Diciamo che R⁰(s) = s, Rⁿ⁺¹ = R(Rⁿ(s))
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| M,s ⊧ φ if ∀σ| σ₀ = s, σ ⊧ φ (ogni path che parte da s soddisfa φ)
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| M,s ⊧ p if p ∈ L(S)
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** Katoen CTL:
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| Pₘ(s) = {σ ∈ Sʷ| σ₀ = s} σ path - sequenza di s
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Per induzione strutturale su ϕ:
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| M,s ⊧ p iff p∈L(S)
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| M,s ⊧ ¬φ iff ¬(M,s ⊧ φ)
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** TCTL
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CTL + Formula clocks, definito su TTS.
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D = set formula clocks
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| ϕ ::= p | ¬(ϕ) | ϕ∨ϕ | E[ϕUϕ] | A[ϕUϕ] | α∈Cstr(C∪D) | z in ϕ
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Dati s = (l,v), w∈V(D):
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| s,w ⊧ p if p∈Label(l)
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| s,w ⊧ α if v∪w ⊧ α
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| s,w ⊧ ¬ϕ if ¬(s,w ⊧ ϕ)
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| s,w ⊧ ϕ ∨ ψ if (s,w⊧ϕ ∨ s,w⊧(ψ)
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| s,w ⊧ z in ϕ if s,reset z in w ⊧ ϕ
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| s,w ⊧ E(ϕUψ) if ∃σ∈Pₘ(s), ∃(i,d)∈Pos(σ):
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| ∀(j,d')≤(i,d) σ(j,d'),wⱼ ⊧ ϕ ∧ σ(i,d),wᵢ⊧ψ
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(dove wⱼ = w+▵(σ,j), wᵢ = w+▵(σ,i))
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| s,w ⊧ E(ϕUψ) if ∀σ∈Pₘ(s), ∃(i,d)∈Pos(σ):
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| ∀(j,d')≤(i,d) σ(j,d'),wⱼ ⊧ ϕ ∧ σ(i,d),wᵢ⊧ψ
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(dove wⱼ = w+▵(σ,j), wᵢ = w+▵(σ,i))
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σ e` una RT trajectory: sequenza infinita di stati
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| σ = s₀ →δ₀→ s₁ →δ₁→ s₂ →...
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| pos di σ = coppia (i,δ)
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| loc(i,δ) = lᵢ
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| val(i,δ) = vᵢ+δ
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| state(i,δ) = (loc,val)
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** Automa di Buchi
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A = <S, ∑, Δ, F>
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- S: insieme degli stati
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- ∑: alfabeto
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- Δ: ⊂ S×∑×S
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- F: multiset stati accentanti
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run accettante: lim(run(A))= {q| q si ripete infinite volte}
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∀Fᵢ∈F: Fᵢ∩lim(run) ≠ ∅
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