consegne: grafi

anno3/vpc/consegne/1.definizioni.org

@@ -1,5 +1,4 @@
-* Definizioni
+* Insiemi
-
 ** Numeri naturali
 
 I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
@@ -16,7 +15,6 @@ Von Neumann:
 - 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
 - n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}
 
-
 ** Numeri interi
 
 I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
@@ -25,7 +23,6 @@ ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
 Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
 come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
 
-
 ** Numeri razionali
 
 I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
@@ -33,7 +30,6 @@ ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
 come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
 non termina (numeri irrazionali).
 
-
 ** Intersezione
 
 L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
@@ -118,3 +114,117 @@ transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
 contiene R:
 | R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
 Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
+** Funzione
+Definiamo funzione una relazione fra due insiemi A e B che associa un elemento
+dell'insieme A ad esattamente un elemento dell'insieme B:
+| f: X↦Y
+** Funzione di arieta` n
+Possiamo definire una funzione di arieta` n su un insieme S come:
+| f: Sⁿ↦S
+** Funzione iniettiva
+Una funzione f: X↦Y si dice iniettiva quando presi due elementi
+dell'insieme X, se la loro immagine e` uguale (f(x)), allora i due elementi
+sono uguali:
+| ∀x,x'∈X, f(x) = f(x') → x = x'
+** Funzione suriettiva
+Una funzione f: X↦Y si dice suriettiva quando preso qualunque elemento
+di Y, questo ha una controimmagine x in X:
+| ∀y∈Y, ∃x∈X| f(x) = y
+** Funzione biettiva
+Chiamiamo una funzione biettiva quando e` allo stesso tempo iniettiva
+e suriettiva.
+
+* Linguaggi
+** Alfabeto
+Un alfabeto e` un insieme i cui membri sono simboli (che includono
+lettere, caratteri e numeri). Se L e` un linguaggio formale, ossia un
+set finito o infinito di stringhe di finita lunghezza, allora
+l'alfabeto di L, indicato con Σ, e` l'insieme di tutti i simboli
+che possono comparire in una qualunque stringa di L.
+** Stringa
+Una stringa e` una sequenza finita di simboli di un alfabeto.
+** Lettera
+Una lettera di una string e` un simbolo dell'alfabeto.
+** Stringa vuota
+Una stringa vuota e` una stringa di lunghezza zero, anche detta ε.
+** Concatenazione
+La concatenazione di stringhe e` l'operazione di unione dei caratteri
+di due stringhe preservando il loro ordine.
+** Ripetizione
+Si dice ripetizione l'operazione di concatenazione di una stringa con
+n copie di se` stessa.
+** Prefisso
+Si dice prefisso di una stringa la sottostringa che appare all'inizio
+della stringa.
+** Suffisso
+Si dice suffisso di una stringa la sottostringa che appare alla fine
+della stringa.
+
+* Grafi
+Un grafo e` una coppia ordinata G = (V,E) che
+comprende un insieme V di vertici e un insieme E di coppie (e,v).
+
+** Grafo diretto
+Un grafo diretto e` un
+grafo in cui gli archi hanno orientamento.
+
+** Grafo indiretto
+Un grafo indiretto o semplice e` un grafo in cui gli archi non hanno
+orientamento, ovvero:
+| ∀x,y∈V, (x,y) = (y,x)
+
+** Grafo bipartito
+
+Un grafo si dice bipartito quando l'insieme di vertici V può
+essere diviso in due insiemi disgiunti e indipendenti W e X, di modo
+che ogni arco connetta un vertice in W con un vertice in X e si scrive
+G = (W,X,E):
+| V = W∪X ∧ W∩X = ∅
+
+** Nodo sorgente
+Un nodo si dice sorgente quando il numero di archi
+in ingresso e` 0.
+** Nodo destinazione
+Un nodo si dice destinazione quando il numero di archi in uscita e` 0.
+
+** Funzione di etichettatura per archi e nodi
+In un generico grafo G, e` possibile definire funzioni di
+etichettatura o di colorazione dei nodi come, dato un insieme di
+etichette S:
+| f: V↦S Definendo un insieme di
+
+** Cammino
+Si dice cammino una sequenza di archi che collega una sequenza di
+vertici distinti.
+** Ciclo
+Si definisce ciclo un cammino in cui il primo e l'ultimo vertice
+coincidono mentre tutti gli altri vertici si ripetono al piu` una
+volta.
+** Lunghezza del cammino 
+Si definisce lunghezza il numero di archi che compongono un cammino.
+In un grafo pesato la lunghezza di un cammino e` costituita dalla
+somma del peso di ogni arco che lo compone.
+Un cammino in un grafo e` una sequenza finita o infinita di archi che
+collegano una sequenza di vertici distinti l'uno dall'altro. Un
+cammino di lunghezza $k$ e` rappresentato da una sequenza alternata di
+$k$ vertici ed archi.\\ $v_0,e_0,v_1,e_1,\,...\,v_{k-1},e_{k-1},v_k$
+
+** Grafi fortemente connesso
+Un grafo diretto si dice fortemente connesso se ogni vertice e`
+raggiungibile da ogni altro vertice.
+** Componenti fortemente connesse
+Si dicono componenti fortemente connesse le partizioni di un grafo
+diretto che sono fortemente connesse.
+
+** BSCC - Bottom Strongly Connected Component
+Una componente fortemente connessa si dice BSCC quando nessun vertice
+al di fuori della BSCC e` raggiungibile.
+** Albero
+Si dice albero un grafo indiretto in cui ogni coppia di vertici e`
+connessa da solo un arco.
+Ogni grafo indiretto, connesso e aciclico e` un albero.
+** In e out degree di un nodo
+Si dice in degree, /indeg⁻(v)/, di un nodo il numero di archi entranti in quel
+nodo.
+Si dice out degree, /outdeg⁺(v)/, di un nodo il numero di archi uscenti da quel
+nodo.