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- Insiemi
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Intersezione
- Unione
- Differenza
- Insieme Potenza
- Complemento di un insieme
- Insieme contenuto
- Insieme strettamente contenuto
- Prodotto Cartesiano
- Arieta` n
- Relazione binaria
- Proprieta` riflessiva
- Proprieta` simmetrica
- Proprieta` transitiva
- Relazione di equivalenza
- Chiusura transitiva
- Funzione
- Funzione di arieta` n
- Funzione iniettiva
- Funzione suriettiva
- Funzione biettiva
- Linguaggi
- Grafi
Insiemi
Numeri naturali
I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ, ovvero tutti i numeri maggiori o uguali a 0.
Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di Von Neumann:
-
definifiamo la funzione successore(n) come:
successore(n) = n ∪ {n} - 0 = ∅
- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, …, n-1}
Numeri interi
I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ, ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
Numeri razionali
I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ, ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e non termina (numeri irrazionali).
Intersezione
L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente gli elementi in comune fra i due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B} |
Unione
L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente gli elementi dei due insiemi:
| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B} |
Differenza
La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma non non contenuti nell'insieme a destra:
| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B} |
Insieme Potenza
L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e` l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
Complemento di un insieme
Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
| Aᶜ = {a | a∉A} |
Insieme contenuto
Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a loro volta elementi di B:
| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B |
Insieme strettamente contenuto
Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non appartengono ad A:
| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A) |
Prodotto Cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B} |
Arieta` n
Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
| R ⊆ A₁×A₂×…×Aₙ |
Relazione binaria
Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
| R ⊆ A₁×A₂ |
Proprieta` riflessiva
Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una relazione riflessiva se:
| ∀a∈A, aRa |
Proprieta` simmetrica
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una relazione simmetrica se:
| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa |
Proprieta` transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una relazione transitiva se:
| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc |
Relazione di equivalenza
Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
Chiusura transitiva
Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che contiene R:
| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal)) |
Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
Funzione
Definiamo funzione una relazione fra due insiemi A e B che associa un elemento dell'insieme A ad esattamente un elemento dell'insieme B:
| f: X↦Y |
Funzione di arieta` n
Possiamo definire una funzione di arieta` n su un insieme S come:
| f: Sⁿ↦S |
Funzione iniettiva
Una funzione f: X↦Y si dice iniettiva quando presi due elementi dell'insieme X, se la loro immagine e` uguale (f(x)), allora i due elementi sono uguali:
| ∀x,x'∈X, f(x) = f(x') → x = x' |
Funzione suriettiva
Una funzione f: X↦Y si dice suriettiva quando preso qualunque elemento di Y, questo ha una controimmagine x in X:
| ∀y∈Y, ∃x∈X | f(x) = y |
Funzione biettiva
Chiamiamo una funzione biettiva quando e` allo stesso tempo iniettiva e suriettiva.
Linguaggi
Alfabeto
Un alfabeto e` un insieme i cui membri sono simboli (che includono lettere, caratteri e numeri). Se L e` un linguaggio formale, ossia un set finito o infinito di stringhe di finita lunghezza, allora l'alfabeto di L, indicato con Σ, e` l'insieme di tutti i simboli che possono comparire in una qualunque stringa di L.
Stringa
Una stringa e` una sequenza finita di simboli di un alfabeto.
Lettera
Una lettera di una string e` un simbolo dell'alfabeto.
Stringa vuota
Una stringa vuota e` una stringa di lunghezza zero, anche detta ε.
Concatenazione
La concatenazione di stringhe e` l'operazione di unione dei caratteri di due stringhe preservando il loro ordine.
Ripetizione
Si dice ripetizione l'operazione di concatenazione di una stringa con n copie di se` stessa.
Prefisso
Si dice prefisso di una stringa la sottostringa che appare all'inizio della stringa.
Suffisso
Si dice suffisso di una stringa la sottostringa che appare alla fine della stringa.
Grafi
Un grafo e` una coppia ordinata G = (V,E) che comprende un insieme V di vertici e un insieme E di coppie (e,v).
Grafo diretto
Un grafo diretto e` un grafo in cui gli archi hanno orientamento.
Grafo indiretto
Un grafo indiretto o semplice e` un grafo in cui gli archi non hanno orientamento, ovvero:
| ∀x,y∈V, (x,y) = (y,x) |
Grafo bipartito
Un grafo si dice bipartito quando l'insieme di vertici V può essere diviso in due insiemi disgiunti e indipendenti W e X, di modo che ogni arco connetta un vertice in W con un vertice in X e si scrive G = (W,X,E):
| V = W∪X ∧ W∩X = ∅ |
Nodo sorgente
Un nodo si dice sorgente quando il numero di archi in ingresso e` 0.
Nodo destinazione
Un nodo si dice destinazione quando il numero di archi in uscita e` 0.
Funzione di etichettatura per archi e nodi
In un generico grafo G, e` possibile definire funzioni di etichettatura o di colorazione dei nodi come, dato un insieme di etichette S:
| f: V↦S Definendo un insieme di |
Cammino
Si dice cammino una sequenza di archi che collega una sequenza di vertici distinti.
Ciclo
Si definisce ciclo un cammino in cui il primo e l'ultimo vertice coincidono mentre tutti gli altri vertici si ripetono al piu` una volta.
Lunghezza del cammino
Si definisce lunghezza il numero di archi che compongono un cammino. In un grafo pesato la lunghezza di un cammino e` costituita dalla somma del peso di ogni arco che lo compone. Un cammino in un grafo e` una sequenza finita o infinita di archi che collegano una sequenza di vertici distinti l'uno dall'altro. Un cammino di lunghezza $k$ e` rappresentato da una sequenza alternata di $k$ vertici ed archi.\\ $v_0,e_0,v_1,e_1,\,...\,v_{k-1},e_{k-1},v_k$
Grafi fortemente connesso
Un grafo diretto si dice fortemente connesso se ogni vertice e` raggiungibile da ogni altro vertice.
Componenti fortemente connesse
Si dicono componenti fortemente connesse le partizioni di un grafo diretto che sono fortemente connesse.
BSCC - Bottom Strongly Connected Component
Una componente fortemente connessa si dice BSCC quando nessun vertice al di fuori della BSCC e` raggiungibile.
Albero
Si dice albero un grafo indiretto in cui ogni coppia di vertici e` connessa da solo un arco. Ogni grafo indiretto, connesso e aciclico e` un albero.
In e out degree di un nodo
Si dice in degree, indeg⁻(v), di un nodo il numero di archi entranti in quel nodo. Si dice out degree, outdeg⁺(v), di un nodo il numero di archi uscenti da quel nodo.