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anno3/vpc/consegne/1.definizioni.org

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+* Definizioni
+
+** Numeri naturali
+
+I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
+ovvero tutti i numeri maggiori  o uguali a 0.
+
+Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
+Von Neumann:
+
+- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
+    | successore(n) = n ∪ {n}
+- 0 = ∅
+- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
+- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
+- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
+- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}
+
+
+** Numeri interi
+
+I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
+ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
+
+Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
+come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
+
+
+** Numeri razionali
+
+I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
+ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
+come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
+non termina (numeri irrazionali).
+
+
+** Intersezione
+
+L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
+gli elementi in comune fra i due insiemi:
+| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}
+
+** Unione
+
+L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
+gli elementi dei due insiemi:
+| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B}
+
+** Differenza
+
+La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
+tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
+non non contenuti nell'insieme a destra:
+| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B}
+
+** Insieme Potenza
+
+L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
+l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
+
+** Complemento di un insieme
+Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
+tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
+| Aᶜ = {a | a∉A}
+
+** Insieme contenuto
+
+Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
+loro volta elementi di B:
+| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B
+
+** Insieme strettamente contenuto
+
+Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
+loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
+appartengono ad A:
+| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A)
+
+** Prodotto Cartesiano
+
+Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
+le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
+insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
+| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B} 
+
+** Arieta` n
+Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
+a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
+| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ
+
+** Relazione binaria
+
+Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
+| R ⊆ A₁×A₂
+** Proprieta` riflessiva
+Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
+relazione riflessiva se:
+| ∀a∈A, aRa
+
+** Proprieta` simmetrica
+Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
+relazione simmetrica se:
+| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa
+
+** Proprieta` transitiva
+Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
+relazione transitiva se:
+| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc
+
+** Relazione di equivalenza
+Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
+e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
+
+** Chiusura transitiva
+
+Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
+transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
+contiene R:
+| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
+Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺