116 lines
4.7 KiB
Org Mode
116 lines
4.7 KiB
Org Mode
* Esposito
|
||
** Tasks: Binary Classification
|
||
I modelli predittivi si occupano di inferire delle informazioni sui
|
||
nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati
|
||
*** TODO Geometric classification
|
||
*** Probabilistic classifier
|
||
Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente
|
||
regola:
|
||
- Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X)$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))}$ =
|
||
$argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
|
||
- Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)
|
||
*** Features
|
||
Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare
|
||
un'approssimazione lineare (y=0).
|
||
Pero` possiamo usare x come sia come splitting feature (due
|
||
approssimazioni diverse se x<0 o x≥0) e come variabile di regression
|
||
(l'approssimazione contiene x)
|
||
Delle volte si puo` mappare il feature space su nuovi spazi (e.g.:
|
||
scatter plot: renderlo al quadrato)
|
||
** Classification
|
||
$\hat{c}$: X → C
|
||
C = {C₁, C₂, ..., Cₖ}
|
||
example: <x, c(x)>
|
||
Learning is constructing $\hat{c}$
|
||
*** TODO Decision Tree
|
||
Vedi decision tree, feature tree, contingency table
|
||
*** Misure
|
||
- Accuracy: $acc = \frac{1}{|T_e|}\sum I[\hat{c}(x)=c(x)] = P(\hat{c}(x) = c(x))$
|
||
- Error rate: $1-acc = P(\hat{c}(x) \ne c(x))$
|
||
- class ratio, clr: $\frac{Pos}{Neg} = \frac{\sum_{x\in{T_e}}
|
||
I[c(x)=1]}{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=0]}$
|
||
- recall, true positive rate: $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
|
||
- specificity, true negative rate = $\frac{TP}{Pos} =
|
||
P(\hat{c}(x)|c(x))$
|
||
- false positive, false negative = 1-tnr, 1-tpr
|
||
- Precision, confidence = $\frac{TP}{TP+FP} = P(c(x)|\hat{c}(x))$
|
||
*** TODO Coverage plot e roc plot
|
||
*** Scoring Classifier
|
||
mapping $\hat{s}: X \to R^k$ dove s e` un vettore s(x) = (s₁(x),
|
||
s₂(x), ..., sₖ(x)). i-th componente = score della classe Cᵢ
|
||
Nello scoring tree, in caso di classificazione binaria, si possono
|
||
usare nelle foglie il logaritmo del ratio fra lo score delle classi.
|
||
**** Margine e Loss f
|
||
Prendiamo la classe true come +1:
|
||
- z(x) = c(x)$\hat{s}(x)$
|
||
Il margine e` il valore assoluto della predizione, positivo se giusta,
|
||
negativo se errata.
|
||
La Loss function L(z(x)): R → [0, ∞); L(0) = 1 e L(z<0)≥1 e
|
||
L(z>0)∈[0,1)
|
||
La loss function e` importante nella fase di learning per cercare la
|
||
soluzione ottimale
|
||
- 0-1 Loss
|
||
- Hinge Loss
|
||
- Logistic Loss
|
||
- Exp Loss
|
||
- Squared Loss
|
||
**** Ranking
|
||
Una funzione di scoring puo` essere trasformata in una di ranking
|
||
ordinando le istanze in base allo score ottenuto.
|
||
Ranking-Error quando $\hat{s}(x)<\hat{s}(x') \wedge s(x') < s(x)$
|
||
- $\frac{\sum_{x\in{T^+_e},x'\in{T^-_e}}{I[\hat{s}(x) < \hat(s)(x')] +
|
||
I[\hat{s}(x) = \hat(s)(x')]}}{Pos\cdot Neg}$
|
||
- Ranking accuracy: 1 - Rank-Err
|
||
*** Probability Estimator
|
||
Scoring classifier che per ogni classe restituisce la probabilita` che
|
||
l'istanza appartenga a quella classe
|
||
- $\hat{p}: X \to [0,1]^k$
|
||
- $\sum_{i=1}^{k}{\hat{p_i}(x)} = 1$
|
||
- Squared Error: $SE(x) = \frac{1}{2} \Vert \hat{p}(x) - I_{c(x)} \Vert
|
||
^2_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(\hat{p}(x) - I[c(x) = C_i])^2$
|
||
- Mean Squared Error: $MSE(T_e) =
|
||
\frac{1}{|T_e|}\sum_{x\in{T_e}}SE(x)$
|
||
- Empirical Probability: Vettore dato dal numero di istanze sul totale
|
||
per ogni classe (frequenza)
|
||
Solitamente si applica un coefficente di smoothing per queste
|
||
frequenze
|
||
- Laplace correction: $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+1}{|S|+k}$
|
||
- m-estimate: non uniform smoothing dato da pseudo-counts m e prior
|
||
probs πᵢ $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+m\cdot\pi_i}{|S|+m}$
|
||
*** TODO Beyond Binary Classification
|
||
Vedi 1-vs-rest, 1-vs-1 e cosi` via
|
||
*** Overfitting, bias-variance
|
||
L'overfitting si evita avendo un numero di parametri ben piu` basso
|
||
dei data points.
|
||
Con un numero basso di parametri si introduce un bias che spesso anche
|
||
con un training elevato non si riesce a risolvere.
|
||
Invece con pochi parametri si introduce una forte dipendenza dal test
|
||
set e quindi molta varianza.
|
||
- $E[(f(x)-\hat{f}(x))^2] = Bias^2(\hat{f}(x)) + Var(\hat{f}(x))$
|
||
(vedi dimostrazione slides)
|
||
** Descriptive Learning
|
||
Tasks and learning problem coincide. No separate training set, produce
|
||
a descriptive model of the data at hand. Learn a model describing the
|
||
data.
|
||
*** Clustering
|
||
Obbiettivo: trovare gruppi omegenei, trovare una labelling function da
|
||
dati senza label.
|
||
- $\hat{q}: X \to C$ (predictive)
|
||
- $\hat{q}: X \to L$ (descriptive)
|
||
*** Supervised subgroup discovery
|
||
Preso un dataset labelled (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ trova:
|
||
- $\hat{g}: D \to {true, false}$
|
||
- G = {x∈D | $\hat{g}$(x) = true}, la cui class distribution e`
|
||
diversa marcatamente dalla popolazione originale
|
||
*** Association Rules
|
||
Dato un dataset unlabelled D trova:
|
||
- un set di regole {b→h} tale che:
|
||
+ h solitamente e` soddisfatta quando b lo e`
|
||
+ b∪h e` frequente (high support: %n di elementi soddisfano la
|
||
regola)
|
||
- Il powerset di un insieme di regole frequenti e` frequente a sua
|
||
volta.
|
||
- Confidenza: support(a∪b)/suport(a)
|
||
** Models
|
||
*** Linear Models
|
||
* Meo
|