UniTO/anno2/YearI/FirstSem/CR/lesson15-20112017.md

Traffic Engineering

Il problema dell'ingegneria del traffico, analizzato utilizzando metodi basati su programmazione lineare e trattando implementazioni in reti reali. Nelle reti spesso e' necessario risolvere problemi di ottimizzazione, percio' e' necessario l'utilizzo di programmazione lineare e non lineare (non vista in questo corso).

Ripasso: programmazione lineare

I problemi di programmazione lineare si possono ridurre ad una forma standard:

minimize sum(i=1, N) of (c[i]*x[i])  // sommatoria da minimizzare, soggetta ai vincoli sotto elencati

subject to (vincoli) sum(j=1, n) of (a[i,j]*x[j]) which must be equal to b[i]

on conditions:
i = [1,...,m],
x >= 0,
j = [1,...,n],
n >= m,
vincoli linearmente indipendenti

Riduzione alla forma standard

Massimizzazione

Si nota come una massimizzazione puo' essere effettuata al posto della minimizzazione semplicemente introducendo un segno negativo all'interno della sommatoria da minimizzare.

Variabili surplus / slack

Si nota inoltre come si possano utilizzare vincoli con disuguaglianza a*x >= b semplicemente riconducendo la disuguaglianza alla forma standard a*x = b. Per fare cio':

• Aggiungo una variabile di surplus

y[i] = variabile di surplus

• Sottraggo alla disuguaglianza:

sum(j=1, n) of (a[i,j]*x[j] - y[i]) which must be equal to b[i]

• Per la forma a*x < b, aggiungo una variabile di slack e la sommo alla disuguaglianza

sum(j=1, n) of (a[i,j]*x[j] + y[i]) which must be equal to b[i]

Variabili libere

Inoltre, una variabile x1 e' detta libera se puo' assumere valori sia positivi che negativi che nulli. Questo non presenta un problema perche' qualunque numero si puo' esprimere come la differenza di due numeri positivi e/o nulli. Quindi x1 = u1 - v1 dove u1,v1 > 0.

Posso anche sostituire a x1 la sua espressione ottenuta invertendo uno dei vincoli, il che presenta il notevole vantaggio di consumare un vincolo.

Risoluzione

La risoluzione di un problema di programmazione lineare si puo' ottenere utilizzando l'algoritmo del simplesso, che e' risolvibile in tempo polinomiale in (n,m) (buono).

Esempio: percorsi ottimi con pesi assegnati (shortest-paths)

Il problema di trovare i cammini minimi in un grafo si puo' scrivere come un problema di programmazione lineare. Supponiamo le ipotesi sopra date e supponiamo inoltre di avere i pesi dei link pre-assegnati.

(vedi slides per procedura risolutiva e forma standard)

Nota: i vincoli presentati sono conservazioni del flusso: infatti, su un link i voglio che il flusso in entrata sia uguale a quello in uscita (flusso di uscita - flusso di entrata = 0). I vincoli restanti ( =1, =-1) sono casi particolari in cui si considera il nodo sorgente e il nodo destinazione. Dalla sorgente il traffico si divide in cammini che daranno somma totale 1 (penultimo vincolo), ma non e' presente traffico entrante (sommatoria negativa = 0). Nella destinazione, viceversa, il traffico e' solamente entrante, e quindi la somma e' -1 (sommatoria positiva = 0). I cicli non sono considerati in quanto la ricerca del cammino minimo li esclude per definizione.

Questa forma di programmazione lineare consente di utilizzare l'algoritmo del simplesso (tramite un risolutore) al posto di Dijkstra. La soluzione puo' essere interpretata come segue: (vedi slides)

Forma matriciale della forma standard

Si puo' riscrivere la forma standard del problema di programmazione lineare come:

minimize transposed(c)*x

subject to (vincoli) A*x = b, x >= 0

Dove:

• x, c sono vettori colonne di dimensione n
• b e' un vettore colonna di dimensione m (n>=m)
• A e' una matrice di m righe e n colonne
• x0 si dice ammissibile se:

A*x0 = b, con x0 >= 0 // il vettore x0 soddisfa i vincoli

Teorema fondamentale della Programmazione lineare

• Se esiste una soluzione ammissibile, esiste una soluzione ammissibile di base, dove per soluzione di base si intende una soluzione ammissibile in cui almeno n-m variabili valgono 0

• Se esiste una soluzione ottima, esiste una soluzione ottima di base.

L'algoritmo del simplesso esplora le soluzioni di base finche' non trova quella ottima. Questo perche' si muove come se fosse sui vertici multidimensionali di un politopo (verificare), e muovendosi migliora la propria soluzione.

Problema duale

Forma simmetrica: ogni problema di programmazione lineare ha un duale, ossia un problema simmetrico all'originale (primale), una sorta di antiproblema (minimizzazione -> massimizzazione)

Il duale si puo' quindi esprimere come:

maximize transposed(y)*b

subject to (vincoli) transposed(y)*A <= transposed(c), y >= 0

Si nota come il ruolo di b e transposed(c) sia invertito nel duale. Risolvendo il duale di un problema (trovando quindi la soluzione ottima) si risolve anche il primale, e viceversa. Questa strategia si applica molto bene ai problemi di traffic engineering.

(vedi slides)

Proprieta' del duale

Se uno dei due problemi ha soluzione con costo finito, allora lo stesso vale per il duale. Se uno dei due problemi ha soluzione con costo infinito, il duale non ha soluzioni ammissibili.

Inoltre:

• Se x, y sono ammissibili, allora transposed(c)*x >= transposed(y)*b
• Se x, y sono ammissibili, se transposed(c)*x = transposed(y)*b, allora x, y sono ottime.

Slackness complementare

Se x e y sono soluzioni ammissibili, sono soluzioni ottime se e solo se:

1. x[i] > 0 implica transposed(y)*A = c[i]
2. transposed(y)*A < c[i] implica x[i] = 0

(vedi slides per esempio cammini minimi)

Funzioni del livello di rete (3)

Tre funzioni essenziali sono assegnate al livello di rete:

1. Determinazione del cammino dei pacchetti (protocolli di routing)
2. Switching interno ai router, da interfaccia di input a interfaccia di output
3. call setup (necessario per alcune connessioni)

1 - Routing

Gli algoritmi di instradamento utilizzano un'astrazione (grafo) per rappresentare la rete. Sono divisi in link state (centralizzato) e distance vector (decentralizzato). Il problema essenziale del routing e' la ricerca del cammino migliore per i pacchetti dati. In genere un'operatore e' interessato a minimizzare le risorse adoperate dalla rete, limitando il piu' possibile i casi di congestione. Questo e' ottenuto utilizzando archi pesati per rappresentare i link.

PROBLEMA: come settare i pesi relativi ai link?

Contesto del problema

Si suppone:

• Conoscenza della topologia della rete.
• Conoscenza della matrice di traffico (requisiti di banda (rate) di tutti i flussi sulla rete). Nella realta' e' possibile solo stimare la matrice di traffico (vedi load balancing slides precedenti). Quindi:

K = insieme di flussi sorg/dest
dk = domanda di traffico del flusso
sk = sorgente del flusso
tk = destinazione del flusso

I criteri di ottimizzazione sono i seguenti:

• minimizzazione dell'utilizzazione massima di un link
• mantenimento dell'utilizzazione del link al di sotto di una soglia prefissata (ex. 60%). Questo assicura che nessun router vada in congestione.

NOTA: il problema diventa molto piu' interessante se si considera un protocollo OSPF-like in cui i link sono pesati, e il traffico puo' essere instradato solamente sui cammini di costo minimo (caso reale). Questo perche' l'instradamento e' comunque vincolato dal protocollo di routing installato sui nodi fisici.

Strategia possibile

Il problema si presenta come un'inversione di Dijkstra (partire da un output desiderato (cammino) e ottenere i pesi dei singoli link).