UniTO/anno3/apprendimento_automatico/preparazione.org

• Esposito
  • Tasks: Binary Classification
    • Geometric classification
    • Probabilistic classifier
    • Features
  • Classification
    • Decision Tree
    • Misure
    • Coverage plot e roc plot
    • Scoring Classifier
      • Margine e Loss f
      • Ranking
    • Probability Estimator
    • Beyond Binary Classification
    • Overfitting, bias-variance
  • Descriptive Learning
    • Clustering
    • Supervised subgroup discovery
    • Association Rules
  • Models
    • Linear Models
      • Best fitting line
      • Regularization
      • LSE per la classificazione
  • SVM
    • Margine funzionale
    • Support Vectors
    • (w₀,w₁) ortogonali
    • Ottimizzazione:
  • Kernels
    • Mercer condition
    • Inner product
    • Kernel importanti
• Meo
  • Concept learning
    • Algoritmo Find-S
    • Version Space
      • List then Eliminate
      • Candidate Elimination
      • Inductive Leap
  • Path Through hyp. space
  • Trees (manca ranking e regression trees)
    • Feature tree
    • Algoritmo Grow Tree
    • Purity
    • Decision Trees
      • BestSplit-Class Algorithm
    • Ranking Trees
    • Prune Tree
    • Regression Trees
    • Clustering Trees
  • Rules
    • LearnRuleList
    • Unordered rules
  • Subgroup discovery
  • Distance models
    • Distanze e medie
    • KNN
    • DBScan
    • Misure
    • Algoritmo di Lloyd
    • K-Medoids clustering
    • Proximity graph for measuring clusters (Silhouettes)
    • Hierarchical clustering
  • Kernels
  • 5-cross validation

Esposito

Tasks: Binary Classification

I modelli predittivi si occupano di inferire delle informazioni sui nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati

TODO Geometric classification

Probabilistic classifier

Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente regola:

• Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X) = argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))} = argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
• Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)

Features

Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare un'approssimazione lineare (y=0). Pero` possiamo usare x come sia come splitting feature (due approssimazioni diverse se x<0 o x≥0) e come variabile di regression (l'approssimazione contiene x) Delle volte si puo` mappare il feature space su nuovi spazi (e.g.: scatter plot: renderlo al quadrato)

Classification

$\hat{c}$: X → C C = {C₁, C₂, …, Cₖ} example: <x, c(x)> Learning is constructing $\hat{c}$

TODO Decision Tree

Vedi decision tree, feature tree, contingency table

Misure

• Accuracy: $acc = \frac{1}{|T_e|}\sum I[\hat{c}(x)=c(x)] = P(\hat{c}(x) = c(x))$
• Error rate: $1-acc = P(\hat{c}(x) \ne c(x))$
• class ratio, clr: $\frac{Pos}{Neg} = \frac{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=1]}{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=0]}$
• recall, true positive rate: $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
• specificity, true negative rate = $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
• false positive, false negative = 1-tnr, 1-tpr
• Precision, confidence = $\frac{TP}{TP+FP} = P(c(x)|\hat{c}(x))$

TODO Coverage plot e roc plot

Scoring Classifier

mapping $\hat{s}: X \to R^k$ dove s e` un vettore s(x) = (s₁(x), s₂(x), …, sₖ(x)). i-th componente = score della classe Cᵢ Nello scoring tree, in caso di classificazione binaria, si possono usare nelle foglie il logaritmo del ratio fra lo score delle classi.

Margine e Loss f

Prendiamo la classe true come +1:

• z(x) = c(x)$\hat{s}(x)$

Il margine e` il valore assoluto della predizione, positivo se giusta, negativo se errata. La Loss function L(z(x)): R → [0, ∞); L(0) = 1 e L(z<0)≥1 e L(z>0)∈[0,1) La loss function e` importante nella fase di learning per cercare la soluzione ottimale

• 0-1 Loss
• Hinge Loss
• Logistic Loss
• Exp Loss
• Squared Loss

Ranking

Una funzione di scoring puo` essere trasformata in una di ranking ordinando le istanze in base allo score ottenuto. Ranking-Error quando $\hat{s}(x)<\hat{s}(x') \wedge s(x') < s(x)$

• $\frac{\sum_{x\in{T^+_e},x'\in{T^-_e}}{I[\hat{s}(x) < \hat(s)(x')] + I[\hat{s}(x) = \hat(s)(x')]}}{Pos\cdot Neg}$
• Ranking accuracy: 1 - Rank-Err

Probability Estimator

Scoring classifier che per ogni classe restituisce la probabilita` che l'istanza appartenga a quella classe

• $\hat{p}: X \to [0,1]^k$
• $\sum_{i=1}^{k}{\hat{p_i}(x)} = 1$
• Squared Error: $SE(x) = \frac{1}{2} \Vert \hat{p}(x) - I_{c(x)} \Vert ^2_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(\hat{p}(x) - I[c(x) = C_i])^2$
• Mean Squared Error: $MSE(T_e) = \frac{1}{|T_e|}\sum_{x\in{T_e}}SE(x)$
• Empirical Probability: Vettore dato dal numero di istanze sul totale per ogni classe (frequenza)

Solitamente si applica un coefficente di smoothing per queste frequenze

• Laplace correction: $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+1}{|S|+k}$
• m-estimate: non uniform smoothing dato da pseudo-counts m e prior probs πᵢ $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+m\cdot\pi_i}{|S|+m}$

TODO Beyond Binary Classification

Vedi 1-vs-rest, 1-vs-1 e cosi` via

Overfitting, bias-variance

L'overfitting si evita avendo un numero di parametri ben piu` basso dei data points. Con un numero basso di parametri si introduce un bias che spesso anche con un training elevato non si riesce a risolvere. Invece con pochi parametri si introduce una forte dipendenza dal test set e quindi molta varianza.

• $E[(f(x)-\hat{f}(x))^2] = Bias^2(\hat{f}(x)) + Var(\hat{f}(x))$ (vedi dimostrazione slides)

Descriptive Learning

Tasks and learning problem coincide. No separate training set, produce a descriptive model of the data at hand. Learn a model describing the data.

Clustering

Obbiettivo: trovare gruppi omegenei, trovare una labelling function da dati senza label.

• $\hat{q}: X \to C$ (predictive)
• $\hat{q}: X \to L$ (descriptive)

Supervised subgroup discovery

Preso un dataset labelled (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ trova:

• $\hat{g}: D \to {true, false}$
• G = {x∈D | $\hat{g}$(x) = true}, la cui class distribution e` diversa marcatamente dalla popolazione originale

Association Rules

Dato un dataset unlabelled D trova:

• un set di regole {b→h} tale che:

  • h solitamente e` soddisfatta quando b lo e`
  • b∪h e` frequente (high support: %n di elementi soddisfano la regola)
• Il powerset di un insieme di regole frequenti e` frequente a sua volta.
• Confidenza: support(a∪b)/suport(a)

Models

Linear Models

Best fitting line

Cx + D = y X w = y in matrix form, w = (C D)ᵀ Se X quadrata e full rank: w = X⁻¹·y ma generalmente X non e` invertibile

Errore: ‖e‖₂ = ‖y-p‖₂ = (∑ᵢ(yᵢ-pᵢ)²)⁻¹

Possiamo inquadrare questo problema come un problema di minimizzazione della norma di e. p = X·$\hat{w}$: L'intero problema consiste in:

$minimize_{\hat{w}}\Vert X \hat{w} - y \Vert_2^2$

minimize_ŵ ‖Xŵ-y‖²₂

La soluzione consiste nell'imporre l'ortogonalita` di e e C(X), ovvero Xᵀ·e=0; quindi:

Xᵀ·e = 0; e = y-X·ŵ

Xᵀ(y-X·ŵ) = 0

Xᵀy = XᵀXŵ

ŵ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy (LSE)

Regularization

evitare l'overfitting applicando dei constraint sul weight vector. Generalmente i pesi sono in media piccoli: shrinkage. La versione regolarizzata di LSE:

w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₂

Soluzione:

ŵ = (XᵀX + λI)⁻¹Xᵀy

si dice ridge regression e significa aggiungere λ alla diagonale di XᵀX per migliorare la stabilita` numerica dell'inversione Si puo` anche usare lasso nel caso di soluzioni sparse (least absolute shrinkage and selection operator) che sostituisce ‖w‖₂ con ‖w‖₁=∑|wᵢ|

w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₁

Minimizzare la norma significa immaginare che X sia affetto da errore D e minimizzare l'errore:

(X+D)w = Xw + Dw

inoltre significa imporre un bias e quindi minimizzare l'effetto della varianza dell'errore. LSE enhance le piccole variazioni nei dati: unstable regressor.

LSE per la classificazione

ĉ(x) = 1 se xᵀŵ - t > 0

ĉ(x) = 0 se xᵀŵ - t = 0

ĉ(x) = -1 se xᵀŵ - t < 0

Ovvero si rappresenta la classe positiva come 1 e la negativa come -1 t rappresenta gli intercepts.

SVM

Hyperplane:

y = ax + b

y -ax -b = 0

wᵀx = 0

• w = (-b -a 1)ᵀ x = (1 x y)ᵀ
• Functional margins: soluzioni che non fanno errori
• Geometric margins: soluzioni che massimizzano la distanza fra i piu` vicini punti di classe opposta

Margine funzionale

Valore dell'hyperplane al punto xᵢ:

f(xᵢ) = w·xᵢ-t

possiamo usare f(xᵢ)>0 per discriminare fra classe positiva/negativa

• Functional margin:

  μ(xᵢ) = yᵢ(w·xᵢ-t) = yᵢf(xᵢ)

  se l'esempio e` ben classificato: μ(xᵢ) > 0

Support Vectors

Possiamo richiedere che ogni istanza nel dataset soddisfi:

yᵢ(w·xᵢ-t) ≥ 1

Istanze nel decision boundary (chiamate support vectors):

yᵢ(w·xᵢ-t) = 1

Margine geometrico: (x₊-x₋)·$\frac{w}{\Vert{w}\Vert}$

TODO (w₀,w₁) ortogonali

Ottimizzazione:

Margin size:

μ = (x₊-x₋)·w/‖w‖

x₊·w-t = 1 -> x₊·w = 1+t

-(x₋·w-t) = 1 -> x₋·w = t-1

$\mu = \frac{1+t-(t-1)}{\Vert{w}\Vert} = \frac{2}{\Vert{w}\Vert}$

μ va minimizzata, il che significa massimizzare ‖w‖

$minimize_{w,t} \frac{1}{2}\Vert{w}\Vert^{2}$

yᵢ(w·xᵢ-t)≥1; 0≤i≤n

minimizzaₓ: f₀(x) soggetto a: fᵢ(x) ≤ 0 i = 1, …, m gᵢ(x) = 0 i = 1, …, p Formulazione duale di Lagrange:

g(α, υ) = infₓ ⋀(x,α,υ) = infₓ(f₀(x) + ∑₁ᵐαᵢfᵢ(x) + ∑₁ᵖυᵢgᵢ(x))

Duality: forma organizzata per per formare bound non triviali in un problema di ottimizzazione In problemi convessi il bound e` solitamente strict e massimizzare il bound porta alla stessa soluzione che minimizzare la funzione originale: strong duality. KKT conditions needs to hold for strong duality. TODO: Vedi dimostrazione slides

Kernels

Trick usato per adattare degli algoritmi lineari a ipotesi non lineari. Idea: linear decision surface su uno spazio trasformato puo` corrispondere ad una superficie non lineare sullo spazio originale. Esempio:

ϕ(x) = (x₁², sqrt(2)x₁x₂, x₂², c)

ĉ(x) = sign(w·x-t)

ĉ(x) = sign(K(w,x)-t) = sign(ϕ(w)·ϕ(x)-t)

Una kernel function K: V×V→R per la quale esiste un mapping ϕ:V→F, F spazio di Hilbert, tale che: K(x,y) = <ϕ(x), ϕ(y)> Ovvero una kernel function calcola l'inner product di x e y dopo averli mappati su un nuovo spazio di Hilbert (possibilmente highly dimensional)

Restituiscono un intuizione della similarita` (proporzionalmente)

TODO Mercer condition

Inner product

generalizzazione del dot product su piu` spazi.

Simmetrico: <x,y> = <y,x>

lineare sul primo argomento: <ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z>

definito positivamente: <x,x>≥0; <x,x> = 0 ⇔ x = 0

Comodi perche`:

• linear classifier possono lavorare su problemi non lineari
• similarity function in highly dim. space senza calcolare i feature vectors
• composizione, nuovi kernel da vecchi

Kernel importanti

Polinomiale: K(x,y) = (x·y)ᵈ or K(x,y) = (x·y+1)ᵈ

• d = 1 → identity
• d = 2 → quadratic
• feature space esponenziale in d

Gaussian Kernel: $K(x,y) = exp(-\frac{\Vert{x-y}\Vert^2}{2\sigma}$ σ e` deciso tramite cross validation su un altro set indipendente il feature space ha dimensionalita` infinita.

Meo

Concept learning

Assunto base: ogni ipotesi che approssima bene la target function sugli esempi di training, approssimera` bene anche la target function con esempi mai visti. Inoltre D e` consistente e senza rumori ed esiste un'ipotesi h che descrive il target concept c. Un'ipotesi h e` una congiunzione di constraint sugli attributi. Il numero delle ipotesi e` esponenzialmente largo sul numero delle features:

{codominio funzione}n distinte istanze

• Ipotesi piu` generale: siano hⱼ, hₖ due funzioni booleane (ipotesi) definite su X. Si dice che hⱼ e` almeno generale quanto hₖ, scritto hⱼ≥hₖ iff

  ∀x∈X: hₖ(x) = 1 → hⱼ(x) = 1

  La relazione ≥ impone un ordine parziale (rifl, trans, antisimm).

• Version Space: Si chiama version space il set delle ipotesi consistenti con il dataset.

Algoritmo Find-S

h ← most specific hyp. in H
foreach x∈X:
    foreach aⱼ in h:    (attribute constraint)
    if h(x)⊧aⱼ:
        continue
    else:
        h ← next more general hyp that satisfies aⱼ
output h

Advantages:

• Hyp. space defined through conjunction of constraints
• will output most specific hyp. that is consistent
• will be consistent with negative examples as well

Svantaggi:

• non si sa se il learner converge al target concept (non sa se e` l'unica ipotesi valida)
• non sa se il training data e` consistente: ignora esempi negativi

Version Space

Definiamo il Version Space come:

VSₕ_D = {h∈H	Consistent(h,D)}
Consistent(h,D) = ∀<x,c(x)>∈D: h(x) = c(x)

General and specific boundary of VS: set of maximally g/s members

VSₕ_D = {h∈H

∃s∈S, ∃g∈G: g≥h≥s}

List then Eliminate

Version Space ← list of every hyp. in H
foreach <x,c(x)> in X:
    foreach h in Version Space:
        if h(x) ≠ c(x) : remove h from VS
output VS

Candidate Elimination

G ← max. general hyp.
S ← max. specific hyp.
foreach d=<x,c(x)> ∈ D:
    if d is ⊕:
        remove from G any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. s in S:
            remove s from S
            add to S all minimal generalizations h of s:
                - h consistent with d
                - some members of G is more general than h
                - S is a summary of all members cons. with positive examples
            remove from S any hyp. more general than other hyp. in S
    if d is ⊖:
        remove from S any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. g in G:
            remove g from G
            add to G all minimal generalizations h of g:
                - h consistent with d
                - some members of S is more general than h
                - G is a summary of all members cons. with negative examples
            remove from G any hyp. more general than other hyp. in G

• converge allo stesso VS qualsiasi l'ordine iniziale di D
• puo` convergere a VS diversi se non ci sono abbastanza membri nel training set

Inductive Leap

Assumiamo che H contenga il target concept c. Ovvero che c puo` essere descritto tramite una congiunzione di literals. Unbiased learner: H esprime ogni concetto imparabile, ovver Powerset(X). S e G sono i due insiemi ⊕ ⊖ (con congiunzioni logiche, vedi slides). Futile perche` un learner che non fa assunzioni a priori sull'identita` del target concept non ha basi per classificare istanze mai viste.

• Bias induttivo:

  ∀xᵢ∈X: (B ∧ D_c ∧ xᵢ) ⊧ L(xᵢ,D_c)

  L(xᵢ, D_c) e` la classificazione assegnata dal concept learning algorithm L dopo il training su D_c Permette di trasformare un sistema induttivo in deduttivo

TODO Path Through hyp. space

Vedi che vuole sapere.

TODO Trees (manca ranking e regression trees)

I decision tree sono molto espressivi e corrispondono a proposizioni logiche in DNF. Per evitare l'overfitting bisogna introdurre scegliendo un linguaggio restrittivo per le ipotesi e penalizzando la complessita` di ogni ipotesi nella funzione target.

Feature tree

Nei feature tree ogni nodo interno e` segnato con una feature e ogni arco con un literal. L'insieme dei literals in un nodo e` chiamato split. Dalle foglie possiamo costruire un'espressione logica tramite congiunzione dei literals risalendo alla root. Il set di istanze coperto dall'espressione e` chiamato instance space segment. Tree learners eseguono una ricerca top-down di tutti i concetti.

Algoritmo Grow Tree

Procedura generica

• Homogeneous: D → bool; true if hom. enough to be labelled with a single label
• Label: D → label; most appropriate label for a set of instances
• BestSplit: D×F → set of literals; best set of literals to be put at the root of the tree

Input: Dataset D, set of features F
if Homogeneous(D) then return Label(D)
S ← BestSplit(D, F)
split D in Dᵢ secondo i literals in S
foreach i do:
    if Dᵢ ≠ ∅ then Tᵢ ← GrowTree(Dᵢ, F)
    else Tᵢ is a leaf labelled with Label(D)

return tree whose root is labelled with S and whose children are Tᵢ

Purity

La bonta` di uno split e` determinata dalla purezza. Per esempio nel caso di due classi ⊕ e ⊖, la purezza puo` essere definita in termini di probabilita` empirica. La purezza misura i figli negli alberi, in rule learning la purezza e` di un solo figlio il literal e` true. Si possono usare le purity measure degli alberi ma senza bisogno di fare la media. In the case of classes:

minority-class: min{p̣, 1-p̣}

Gini-index: ∑p̣ᵢ(1-p̣ᵢ); expected error rate if examples on leaves were labelled randomly

Entropy: -∑p̣ᵢ·log₂(p̣ᵢ)

Impurity of a set: $Imp(D_1, D_2, ..., D_l) = \sum_{j=1}^l \frac{|D_j|}{|D|} Imp(D_j)$

Decision Trees

Separa il dataset in partizioni disgiunte usando l'objective function (ogni partizione e` pura nel suo target attribute). L'objective function misura la purezza delle partizioni ottenute dopo lo split.

• Information of an event

I(E) = log₂(1/p) Se un evento e` molto probabile (p≊1), l'informazione che ne ricaviamo e` poca, e viceversa. Se un esperimento ha n outcomes ognuno con probabilita` pᵢ la quantita` di informazione media ricavata e` esattamente l'entropia:

∑pᵢlog₂(1/pᵢ) = -∑pᵢlog₂(pᵢ)

BestSplit-Class Algorithm

input: dataset D, set of features F
Iₘᵢₙ ← 1
foreach f∈F:
    split D into subsets D₁,...,Dₗ secondo i valori υⱼ of f
    if Imp({D₁, ..., Dₗ}) < Iₘᵢₙ:
        Iₘᵢₙ ← Imp({D₁, ..., Dₗ})
        f_{best} ← f
return f_{best} (feature f to split on)

Il best split minimizza l'impurita` dei subset D₁, …, Dₗ.

TODO Ranking Trees

• Spazio diviso in segmenti
• Gli alberi possono diventare rankers se imparano un ordinamento per i segmenti
• Le foglie devono essere ordinate

Sfruttando la distribuzione delle classi nelle foglie possiamo trasformare il feature tree in:

1. ranking tree: se ordiniamo le foglie in base alle probabilita` empiriche
2. probability estimator

3. classifier: scegliendo le condizioni operative come conseguenza della proporzione della frequenza sulle classi:

   • clr = Pos/Neg
   • c = Cfn / Cfp
   • slope: 1/(c·clr)

TODO: Esercizi su Ranking trees e costi: 193

Prune Tree

• PruneTree(T,D)

inputs: decision tree T; labelled data D
for every INTERNAL node N ∈T, partendo dal basso:
Tₙ ← subtree of T with N as root
Dₙ ← {x∈D | x is covered by N}
se l'accuracy di Tₙ su Dₙ e` peggiore della majority class in Dₙ :
    sostituisci Tₙ in T con una foglia marcata con la maj. class di Dₙ

ritorna versione pruned di T

Invece di fare pruning si puo` introdurre un'errore di generalizzazione (penalita` k su foglie) calcolato sul training set. Non viene generata una foglia se non decrementa l'errore del padre di almeno k+1. TODO: Vedi come vengono stimati gli errori di generalizzazione sul libro TODO: vedi conseguenze inflation

Regression Trees

Possiamo inquadrare il problema del tree learning come un problema di minimizzazione della varianza (o standard deviation nel caso di sqrt GINI) sulle foglie:

Var(Y) = 1/

Y

∑(y-y̱)² y̱ e` y_predict

l'average della varianza e` la varianza moltiplicata per la frequenza |Yⱼ|/|Y|.

• Nei problemi di regressione i valori del dominio di Y sono continui

• in BestSplit possiamo sostituire l'impurezza con la varianza

  • Label(Y) = mean value dei valori di Y raccolte dalla foglia
  • Homogeneous(Y) = true se la varianza e` sotto la soglia
• i regression tree son suscettibili all'overfitting in caso di pochi esempi

Clustering Trees

• usiamo Dis: X×X ↦ R
• BestSplit usa l'average di Dis su ∀x₁,x₂
• nel caso di vettori di features X⊆Rᵈ la somma della varianza sulle features e` la distanza euclidea

• Complessita`:

  • average squared distance = 2 volte la varianza
  • Var(x)
  • average vector delle distanze e Varᵢ(X)
  • O(|D|)

Note:

• Cluster piccoli: overfitting
• outliers possono essere rimossi
• si possono rimuovere degli splits nei livelli piu` bassi dell'albero: pruning
• label attraverso most representative instance: medoid (lowest total dissimilarity)

Rules

Ordered rules are a chain of if-then-else.

1. Keep growing the rule antecedent by literal conjunction (high purity)
2. Select the label as the rule consequent
3. Delete the instance segment from the data, restart from 1

LearnRuleList

learn an ordered list of rules

• LearnRuleList:

Input: Labelled training dataset D
R ← ∅
while D ≠ ∅ :
    r ← LearnRule(D)
    append r to end of R
    D ← D \ {x∈D | x is covered by r}
return R

• LearnRule(D):

b ← true
L ← set of available literals
while not Homogeneous(D):
    l ← BestLiteral(D,L)
    b ← b ∧ l
    D ← {x∈D | x is covered by b}
    L ← L \ {l'∈L | l' uses same fetures as l}
C ← Label(D)
r ← if b then Class = C
return r

Unordered rules

Rules can also refer to the same class and we can collect them in a rule set.

• LearnRuleSet(D):

Input: Labelled training data D
R ← ∅
for every class Cᵢ :
    Dᵢ ← D
    while Dᵢ contains examples of class Cᵢ:
        r ← LearnRuleForClass(Dᵢ, Cᵢ)
        R ← R ∪ {r}
        Dᵢ ← Dᵢ \ {x∈Cᵢ | x is covered by r} ;; remove only positives
return R

• LearnRuleForClass(Dᵢ, Cᵢ): Stesso che LearnRule(D) ma usa Cᵢ invece che C←Label(D).

Il problema con queste regole e` che si concentrano troppo sulla purezza quando ci sono regole quasi pure che pero` non possono essere generalizzate: usa lo smoothing.

• Laplace correction: $\dot{p}_i^+ = \frac{n_i^+ + 1}{n_i + 2}$

Solitamente rulesets hanno una performance di ranking maggiore (n contro 2ⁿ istanze riconoscibili) ma possono restituire una curva di coverage non convessa.

TODO Subgroup discovery

I sottogruppi sono un subset dell'instance space la cui class distribution e` differente da quella di D. Mapping ĝ: X → C; D = (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ Precisione e average recall non sono sempre coincidono sulla classificazione dei sottogruppi:

• Precision: focalizzato sui positivi
• avg recall: no fuoco

Nella subgroup discovery siamo interessati a imparare piu` di una regola per individuare un gruppo omogeneo: weighted covering. Si da un peso ad ogni esempio e lo si riduce ogni volta che si trova una regola che lo copre.

Distance models

La distanza e` una misura di similarita`: minore la distanza, maggiore la similarita`. Se X∈Rᵈ definiamo la Minkowsi distance: $Dis_p(x,y) = (\sum_{j=1}^{d}{|x_j-y_j|^p})^{\frac{1}{p}} = \Vert{x-y}\Vert_p$ (‖z‖ e` la p-norm).

• Se p = 2 -> distanza euclidea.

  Dis₂(x,y) = sqrt ((x-y)ᵀ(x-y))

• Manhattan:

  Dis₁(x,y) = ∑

  xⱼ-yⱼ

• Chebyshev: $Dis_{\infty}(x,y) = max_j|x_j-y_j|$

• 0-norm:

  ∑ I[xⱼ≠yⱼ]

• Jaccard distance for aysmmetric problems
• Mahalanobis (elliptical?): $Dis_M(x,y|\sum) = \sqrt{ (x-y)^T\sum^-1(x-y) }$ Dis₂ = Disₘ quando ∑ e` l'identity matrix. Normalmente ∑ e` l'inverso della matrice di covarianza: M = ∑⁻¹. La distanza di Mahal. tiene conto della distanza fra le features e grazie a ∑ riduce le distanze nella direzione di spread.

Generalizzando: Dato un'instance space X una metrica della distanza Dis: X×X→R e` tale che ∀x,y,z∈X:

• Dis(x,x) = 0
• Dis(x,y) > 0 if x≠y
• Dis(x,y) = Dis(y,x)
• Dis(x,z) ≤ Dis(x,y) + Dis(y,z) (no detours)

Distanze e medie

Si dimostra (slide 343) che μ e` il punto nello spazio Euclideo che ha ∑distanza minimo. Il centroide rispetto al medioide puo` anche essere un punto fittizio. Un classificatore lineare molto basico si puo` costruire classificando ogni istanza.

KNN

A KNN cls takes a vote for each of the k nearest exemplars and predicts the class. In pratica il cls prendere k voti dai piu` vicini. All'aumentare di K aumenta il bias e diminuisce la varianza. Con basso k sono simili ad aggregatori. Non efficienti negli spazi con molte dimensioni. I voti possono anche essere pesati in base alle distanze.

DBScan

Usare NN non per la predizione ma per la classificazione.

• Density: numero di punti nel raggio Eps
• Core point: ha minimo MinPts nel raggio (interior del cluster)
• Border point: meno di MinPts punti in Eps, ma vicino di CorePoint
• Noise point: ne` border point ne core point.

Label all point as Core, Border, Noise
Elimina i Noise points
Metti un arco fra i core-points nel raggio Eps l'uno dall'altro
- ogni gruppo di punti connessi e` un cluster
Assegna ogni Border point ad un cluster

Buono per classificare cluster di differente grandezza e forma. Non funziona bene sulle densita` variabili e sui punti ad alta dimensionalita`.

Misure

• Coesione: quanto gli oggetti son closely related nel cluster
• Separazione: quanto distinto o ben separato il cluster dagli altri

Dato Sum of Squared Error

• Within cluster Sum of Squares: $WSS = \sum_i \sum_{x\in C_i}(x-m_i)^2$
• Between cluster Sum of Squares: $BSS = \sum_i |C_i|(m-m_i)^2$

BSS + WSS e` costante. Il problema dei K-Means consiste nel trovare una soluzione che minimizza WSS (o massimizza BSS): cluster coesi.

Algoritmo di Lloyd

• Itera partizionando in base al centroide e ricalcola il centroide.
• Converge ad un punto stazionario ma non garantisce che la soluzione sia il minimo globale.
• KMeans(K,D) usando Dis₂

Input data D⊆Rᵈ; numero di cluster k.
Inizializza casualmente K vettori μ₁, ..., μₖ ∈Rᵈ
do:
    assegna ogni x∈D a argminⱼ Dis₂(x,μⱼ)
    for j = 1 to k:
        Dⱼ ← {x∈D| x assigned to cluster j}
        μⱼ = 1/|Dⱼ| ∑x    (x∈Dⱼ)
until (no change in μ₁, ..., μₖ
ritorna μ₁, ..., μₖ

K-Medoids clustering

Input: input data D⊆X; k \#clusters; Distance metric Dis: X×X→R
Inizializza casualmente k punti μ₁, ..., μₖ ∈D
repeat
    assign each x∈D to argminⱼ Dis(x,μⱼ)
    for j=1 to k do:
        Dⱼ ← {x∈D| x assigned to cluster j}
        μⱼ = argmin_{x∈Dⱼ} ∑_{x'∈Dⱼ} Dis(x,x')
until no change in μ₁, ..., μₖ
return μ₁, ..., μₖ

TODO Proximity graph for measuring clusters (Silhouettes)

Hierarchical clustering

Non richiede di fissare k. Il dendrogram e` un albero binario con gli elementi di D come foglie.

• Linkage function: L: 2ˣ×2ˣ→R: calcola la distanza fra due subset dell'instance space data una metrica per la distanza.

  • Single linkage: smallest pairwise distance fra elementi
  • Complete linkage: largest pointwise distance
  • Average linkage: average pointwise distance
  • Centroid linkage: distanza fra i centroidi
• HAC(D, L)

Input: D⊆X; linkage function L
Inizializza clusters di singleton
creae una foglia a livello zero per ogni punto
repeat:
    trova la coppia <x,y> con il minore linkage e merge
    genera parent di <x,y>
until si ottiene un solo cluster
return constructed dendrogram

Kernels

Disₖ(x,y) = sqrt K(x,x) + 2K(x,y) + K(y,y)

pseudo metric quando k e` un kernel semidefinito

• Kernelized K-Means

inputs: D⊆X; k
randomly initialize D₁, ..., Dₖ; (D₁ ∪ ... ∪ Dₖ = D)
repeat
    assign each x to argminⱼ 1/|Dⱼ| ∑_y Disₖ(x,y)
    for j = 1 ... k:
        Dⱼ ← {x∈D | x assigned to cluster j}
until no change in D₁,...,Dₖ
return D₁, ..., Dₖ

• Cosine similarity: $cos \theta = \frac{x\cdot y}{\Vert{x}\Vert \cdot \Vert{y} \Vert} = \frac{K(x,y)}{\sqrt{K(x,x)\times K(y,y)}}$

5-cross validation

dividi il dataset in 5 partizioni, 4 per il training set 1 per il test set e permuta.