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Francesco Mecca 84096d29f6 esercizi

2020-07-03 19:08:23 +02:00

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Raw Blame History

Esposito
Meo

Esposito

Tasks: Binary Classification

I modelli predittivi si occupano di inferire delle informazioni sui nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati

TODO Geometric classification

Probabilistic classifier

Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente regola:

Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X)$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))}$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)

Features

Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare un'approssimazione lineare (y=0). Pero` possiamo usare x come sia come splitting feature (due approssimazioni diverse se x<0 o x≥0) e come variabile di regression (l'approssimazione contiene x) Delle volte si puo` mappare il feature space su nuovi spazi (e.g.: scatter plot: renderlo al quadrato)

Classification

$\hat{c}$: X → C C = {C₁, C₂, …, Cₖ} example: <x, c(x)> Learning is constructing $\hat{c}$

TODO Decision Tree

Vedi decision tree, feature tree, contingency table

Misure

Accuracy: $acc = \frac{1}{|T_e|}\sum I[\hat{c}(x)=c(x)] = P(\hat{c}(x) = c(x))$
Error rate: $1-acc = P(\hat{c}(x) \ne c(x))$
class ratio, clr: $\frac{Pos}{Neg} = \frac{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=1]}{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=0]}$
recall, true positive rate: $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
specificity, true negative rate = $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
false positive, false negative = 1-tnr, 1-tpr
Precision, confidence = $\frac{TP}{TP+FP} = P(c(x)|\hat{c}(x))$

TODO Coverage plot e roc plot

Scoring Classifier

mapping $\hat{s}: X \to R^k$ dove s e` un vettore s(x) = (s₁(x), s₂(x), …, sₖ(x)). i-th componente = score della classe Cᵢ Nello scoring tree, in caso di classificazione binaria, si possono usare nelle foglie il logaritmo del ratio fra lo score delle classi.

Margine e Loss f

Prendiamo la classe true come +1:

z(x) = c(x)$\hat{s}(x)$

Il margine e` il valore assoluto della predizione, positivo se giusta, negativo se errata. La Loss function L(z(x)): R → [0, ∞); L(0) = 1 e L(z<0)≥1 e L(z>0)∈[0,1) La loss function e` importante nella fase di learning per cercare la soluzione ottimale

0-1 Loss
Hinge Loss
Logistic Loss
Exp Loss
Squared Loss

Ranking

Una funzione di scoring puo` essere trasformata in una di ranking ordinando le istanze in base allo score ottenuto. Ranking-Error quando $\hat{s}(x)<\hat{s}(x') \wedge s(x') < s(x)$

$\frac{\sum_{x\in{T^+_e},x'\in{T^-_e}}{I[\hat{s}(x) < \hat(s)(x')] + I[\hat{s}(x) = \hat(s)(x')]}}{Pos\cdot Neg}$
Ranking accuracy: 1 - Rank-Err

Probability Estimator

Scoring classifier che per ogni classe restituisce la probabilita` che l'istanza appartenga a quella classe

$\hat{p}: X \to [0,1]^k$
$\sum_{i=1}^{k}{\hat{p_i}(x)} = 1$
Squared Error: $SE(x) = \frac{1}{2} \Vert \hat{p}(x) - I_{c(x)} \Vert ^2_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(\hat{p}(x) - I[c(x) = C_i])^2$
Mean Squared Error: $MSE(T_e) = \frac{1}{|T_e|}\sum_{x\in{T_e}}SE(x)$
Empirical Probability: Vettore dato dal numero di istanze sul totale per ogni classe (frequenza)

Solitamente si applica un coefficente di smoothing per queste frequenze

Laplace correction: $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+1}{|S|+k}$
m-estimate: non uniform smoothing dato da pseudo-counts m e prior probs πᵢ $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+m\cdot\pi_i}{|S|+m}$

TODO Beyond Binary Classification

Vedi 1-vs-rest, 1-vs-1 e cosi` via

Overfitting, bias-variance

L'overfitting si evita avendo un numero di parametri ben piu` basso dei data points. Con un numero basso di parametri si introduce un bias che spesso anche con un training elevato non si riesce a risolvere. Invece con pochi parametri si introduce una forte dipendenza dal test set e quindi molta varianza.

$E[(f(x)-\hat{f}(x))^2] = Bias^2(\hat{f}(x)) + Var(\hat{f}(x))$ (vedi dimostrazione slides)

Descriptive Learning

Tasks and learning problem coincide. No separate training set, produce a descriptive model of the data at hand. Learn a model describing the data.

Clustering

Obbiettivo: trovare gruppi omegenei, trovare una labelling function da dati senza label.

$\hat{q}: X \to C$ (predictive)
$\hat{q}: X \to L$ (descriptive)

Supervised subgroup discovery

Preso un dataset labelled (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ trova:

$\hat{g}: D \to {true, false}$
G = {x∈D | $\hat{g}$(x) = true}, la cui class distribution e` diversa marcatamente dalla popolazione originale

Association Rules

Dato un dataset unlabelled D trova:

un set di regole {b→h} tale che:
- h solitamente e` soddisfatta quando b lo e`
- b∪h e` frequente (high support: %n di elementi soddisfano la regola)
Il powerset di un insieme di regole frequenti e` frequente a sua volta.
Confidenza: support(a∪b)/suport(a)

Models

Linear Models

Best fitting line

Cx + D = y X w = y in matrix form, w = (C D)ᵀ Se X quadrata e full rank: w = X⁻¹·y ma generalmente X non e` invertibile

Errore: ‖e‖₂ = ‖y-p‖₂ = (∑ᵢ(yᵢ-pᵢ)²)⁻¹

Possiamo inquadrare questo problema come un problema di minimizzazione della norma di e. p = X·$\hat{w}$: L'intero problema consiste in:

$minimize_{\hat{w}}\Vert X \hat{w} - y \Vert_2^2$

minimize_ŵ ‖Xŵ-y‖²₂

La soluzione consiste nell'imporre l'ortogonalita` di e e C(X), ovvero Xᵀ·e=0; quindi:

Xᵀ·e = 0; e = y-X·ŵ

Xᵀ(y-X·ŵ) = 0

Xᵀy = XᵀXŵ

ŵ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy (LSE)

Regularization

evitare l'overfitting applicando dei constraint sul weight vector. Generalmente i pesi sono in media piccoli: shrinkage. La versione regolarizzata di LSE:

w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₂

Soluzione:

ŵ = (XᵀX + λI)⁻¹Xᵀy

si dice ridge regression e significa aggiungere λ alla diagonale di XᵀX per migliorare la stabilita` numerica dell'inversione Si puo` anche usare lasso nel caso di soluzioni sparse (least absolute shrinkage and selection operator) che sostituisce ‖w‖₂ con ‖w‖₁=∑|wᵢ|

w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₁

Minimizzare la norma significa immaginare che X sia affetto da errore D e minimizzare l'errore:

(X+D)w = Xw + Dw

inoltre significa imporre un bias e quindi minimizzare l'effetto della varianza dell'errore. LSE enhance le piccole variazioni nei dati: unstable regressor.

LSE per la classificazione

ĉ(x) = 1 se xᵀŵ - t > 0

ĉ(x) = 0 se xᵀŵ - t = 0

ĉ(x) = -1 se xᵀŵ - t < 0

Ovvero si rappresenta la classe positiva come 1 e la negativa come -1 t rappresenta gli intercepts.

SVM

Hyperplane:

y = ax + b

y -ax -b = 0

wᵀx = 0

w = (-b -a 1)ᵀ x = (1 x y)ᵀ
Functional margins: soluzioni che non fanno errori
Geometric margins: soluzioni che massimizzano la distanza fra i piu` vicini punti di classe opposta

Margine funzionale

Valore dell'hyperplane al punto xᵢ:

f(xᵢ) = w·xᵢ-t

possiamo usare f(xᵢ)>0 per discriminare fra classe positiva/negativa

Functional margin:

μ(xᵢ) = yᵢ(w·xᵢ-t) = yᵢf(xᵢ)

se l'esempio e` ben classificato: μ(xᵢ) > 0

Support Vectors

Possiamo richiedere che ogni istanza nel dataset soddisfi:

yᵢ(w·xᵢ-t) ≥ 1

Istanze nel decision boundary (chiamate support vectors):

yᵢ(w·xᵢ-t) = 1

Margine geometrico: (x₊-x₋)·$\frac{w}{\Vert{w}\Vert}$

TODO (w₀,w₁) ortogonali

Ottimizzazione:

Margin size:

μ = (x₊-x₋)·w/‖w‖

x₊·w-t = 1 -> x₊·w = 1+t

-(x₋·w-t) = 1 -> x₋·w = t-1

$\mu = \frac{1+t-(t-1)}{\Vert{w}\Vert} = \frac{2}{\Vert{w}\Vert}$

μ va minimizzata, il che significa massimizzare ‖w‖

$minimize_{w,t} \frac{1}{2}\Vert{w}\Vert^{2}$

yᵢ(w·xᵢ-t)≥1; 0≤i≤n

minimizzaₓ: f₀(x) soggetto a: fᵢ(x) ≤ 0 i = 1, …, m gᵢ(x) = 0 i = 1, …, p Formulazione duale di Lagrange:

g(α, υ) = infₓ ⋀(x,α,υ) = infₓ(f₀(x) + ∑₁ᵐαᵢfᵢ(x) + ∑₁ᵖυᵢgᵢ(x))

Duality: forma organizzata per per formare bound non triviali in un problema di ottimizzazione In problemi convessi il bound e` solitamente strict e massimizzare il bound porta alla stessa soluzione che minimizzare la funzione originale: strong duality. KKT conditions needs to hold for strong duality. TODO: Vedi dimostrazione slides

Kernels

Trick usato per adattare degli algoritmi lineari a ipotesi non lineari. Idea: linear decision surface su uno spazio trasformato puo` corrispondere ad una superficie non lineare sullo spazio originale. Esempio:

ϕ(x) = (x₁², sqrt(2)x₁x₂, x₂², c)

ĉ(x) = sign(w·x-t)

ĉ(x) = sign(K(w,x)-t) = sign(ϕ(w)·ϕ(x)-t)

Una kernel function K: V×V→R per la quale esiste un mapping ϕ:V→F, F spazio di Hilbert, tale che: K(x,y) = <ϕ(x), ϕ(y)> Ovvero una kernel function calcola l'inner product di x e y dopo averli mappati su un nuovo spazio di Hilbert (possibilmente highly dimensional)

Restituiscono un intuizione della similarita` (proporzionalmente)

TODO Mercer condition

Inner product

generalizzazione del dot product su piu` spazi.

Simmetrico: <x,y> = <y,x>

lineare sul primo argomento: <ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z>

definito positivamente: <x,x>≥0; <x,x> = 0 ⇔ x = 0

Comodi perche`:

linear classifier possono lavorare su problemi non lineari
similarity function in highly dim. space senza calcolare i feature vectors
composizione, nuovi kernel da vecchi

Kernel importanti

Polinomiale: K(x,y) = (x·y)ᵈ or K(x,y) = (x·y+1)ᵈ

d = 1 → identity
d = 2 → quadratic
feature space esponenziale in d

Gaussian Kernel: $K(x,y) = exp(-\frac{\Vert{x-y}\Vert^2}{2\sigma}$ σ e` deciso tramite cross validation su un altro set indipendente il feature space ha dimensionalita` infinita.

Meo

Concept learning

Assunto base: ogni ipotesi che approssima bene la target function sugli esempi di training, approssimera` bene anche la target function con esempi mai visti. Inoltre D e` consistente e senza rumori ed esiste un'ipotesi h che descrive il target concept c. Un'ipotesi h e` una congiunzione di constraint sugli attributi. Il numero delle ipotesi e` esponenzialmente largo sul numero delle features:

{codominio funzione}^{n distinte istanze}

Ipotesi piu` generale: siano hⱼ, hₖ due funzioni booleane (ipotesi) definite su X. Si dice che hⱼ e` almeno generale quanto hₖ, scritto hⱼ≥hₖ iff

∀x∈X: hₖ(x) = 1 → hⱼ(x) = 1

La relazione ≥ impone un ordine parziale (rifl, trans, antisimm).
Version Space: Si chiama version space il set delle ipotesi consistenti con il dataset.

Algoritmo Find-S

h ← most specific hyp. in H
foreach x∈X:
    foreach aⱼ in h:    (attribute constraint)
    if h(x)⊧aⱼ:
        continue
    else:
        h ← next more general hyp that satisfies aⱼ
output h

Advantages:

Hyp. space defined through conjunction of constraints
will output most specific hyp. that is consistent
will be consistent with negative examples as well

Svantaggi:

non si sa se il learner converge al target concept (non sa se e` l'unica ipotesi valida)
non sa se il training data e` consistente: ignora esempi negativi

Version Space

Definiamo il Version Space come:

VSₕ_D = {h∈H	Consistent(h,D)}
Consistent(h,D) = ∀<x,c(x)>∈D: h(x) = c(x)

General and specific boundary of VS: set of maximally g/s members

VSₕ_D = {h∈H

∃s∈S, ∃g∈G: g≥h≥s}

List then Eliminate

Version Space ← list of every hyp. in H
foreach <x,c(x)> in X:
    foreach h in Version Space:
        if h(x) ≠ c(x) : remove h from VS
output VS

Candidate Elimination

G ← max. general hyp.
S ← max. specific hyp.
foreach d=<x,c(x)> ∈ D:
    if d is ⊕:
        remove from G any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. s in S:
            remove s from S
            add to S all minimal generalizations h of s:
                - h consistent with d
                - some members of G is more general than h
                - S is a summary of all members cons. with positive examples
            remove from S any hyp. more general than other hyp. in S
    if d is ⊖:
        remove from S any inconsistent hyp.
        foreach inconsistent hyp. g in G:
            remove g from G
            add to G all minimal generalizations h of g:
                - h consistent with d
                - some members of S is more general than h
                - G is a summary of all members cons. with negative examples
            remove from G any hyp. more general than other hyp. in G

converge allo stesso VS qualsiasi l'ordine iniziale di D
puo` convergere a VS diversi se non ci sono abbastanza membri nel training set

Inductive Leap

Assumiamo che H contenga il target concept c. Ovvero che c puo` essere descritto tramite una congiunzione di literals. Unbiased learner: H esprime ogni concetto imparabile, ovver Powerset(X). S e G sono i due insiemi ⊕ ⊖ (con congiunzioni logiche, vedi slides). Futile perche` un learner che non fa assunzioni a priori sull'identita` del target concept non ha basi per classificare istanze mai viste.

Bias induttivo:

∀xᵢ∈X: (B ∧ D_c ∧ xᵢ) ⊧ L(xᵢ,D_c)

L(xᵢ, D_c) e` la classificazione assegnata dal concept learning algorithm L dopo il training su D_c Permette di trasformare un sistema induttivo in deduttivo

TODO Path Through hyp. space

Vedi che vuole sapere

TODO Trees (manca ranking e regression trees)

I decision tree sono molto espressivi e corrispondono a proposizioni logiche in DNF. Per evitare l'overfitting bisogna introdurre scegliendo un linguaggio restrittivo per le ipotesi e penalizzando la complessita` di ogni ipotesi nella funzione target.

Feature tree

Nei feature tree ogni nodo interno e` segnato con una feature e ogni arco con un literal. L'insieme dei literals in un nodo e` chiamato split. Dalle foglie possiamo costruire un'espressione logica tramite congiunzione dei literals risalendo alla root. Il set di istanze coperto dall'espressione e` chiamato instance space segment. Tree learners eseguono una ricerca top-down di tutti i concetti.

Algoritmo Grow Tree

Procedura generica

Homogeneous: D → bool; true if hom. enough to be labelled with a single label
Label: D → label; most appropriate label for a set of instances
BestSplit: D×F → set of literals; best set of literals to be put at the root of the tree

Input: Dataset D, set of features F
if Homogeneous(D) then return Label(D)
S ← BestSplit(D, F)
split D in Dᵢ secondo i literals in S
foreach i do:
    if Dᵢ ≠ ∅ then Tᵢ ← GrowTree(Dᵢ, F)
    else Tᵢ is a leaf labelled with Label(D)

return tree whose root is labelled with S and whose children are Tᵢ

Purity

La bonta` di uno split e` determinata dalla purezza. Per esempio nel caso di due classi ⊕ e ⊖, la purezza puo` essere definita in termini di probabilita` empirica. La purezza misura i figli negli alberi, in rule learning la purezza e` di un solo figlio il literal e` true. Si possono usare le purity measure degli alberi ma senza bisogno di fare la media. In the case of classes:

minority-class: min{p̣, 1-p̣}

Gini-index: ∑p̣ᵢ(1-p̣ᵢ); expected error rate if examples on leaves were labelled randomly

Entropy: -∑p̣ᵢ·log₂(p̣ᵢ)

Impurity of a set: $Imp(D_1, D_2, ..., D_l) = \sum_{j=1}^l \frac{|D_j|}{|D|} Imp(D_j)$

Decision Trees

Separa il dataset in partizioni disgiunte usando l'objective function (ogni partizione e` pura nel suo target attribute). L'objective function misura la purezza delle partizioni ottenute dopo lo split.

Information of an event

I(E) = log₂(1/p) Se un evento e` molto probabile (p≊1), l'informazione che ne ricaviamo e` poca, e viceversa. Se un esperimento ha n outcomes ognuno con probabilita` pᵢ la quantita` di informazione media ricavata e` esattamente l'entropia:

∑pᵢlog₂(1/pᵢ) = -∑pᵢlog₂(pᵢ)

BestSplit-Class Algorithm

input: dataset D, set of features F
Iₘᵢₙ ← 1
foreach f∈F:
    split D into subsets D₁,...,Dₗ secondo i valori υⱼ of f
    if Imp({D₁, ..., Dₗ}) < Iₘᵢₙ:
        Iₘᵢₙ ← Imp({D₁, ..., Dₗ})
        f_{best} ← f
return f_{best} (feature f to split on)

Il best split minimizza l'impurita` dei subset D₁, …, Dₗ.

TODO Ranking Trees

Spazio diviso in segmenti
Gli alberi possono diventare rankers se imparano un ordinamento per i segmenti
Le foglie devono essere ordinate

Rules

Ordered rules are a chain of if-then-else.

1. Keep growing the rule antecedent by literal conjunction (high purity)
2. Select the label as the rule consequent
3. Delete the instance segment from the data, restart from 1

LearnRuleList

learn an ordered list of rules

LearnRuleList:

Input: Labelled training dataset D
R ← ∅
while D ≠ ∅ :
    r ← LearnRule(D)
    append r to end of R
    D ← D \ {x∈D | x is covered by r}
return R

LearnRule(D):

b ← true
L ← set of available literals
while not Homogeneous(D):
    l ← BestLiteral(D,L)
    b ← b ∧ l
    D ← {x∈D | x is covered by b}
    L ← L \ {l'∈L | l' uses same fetures as l}
C ← Label(D)
r ← if b then Class = C
return r

Unordered rules

Rules can also refer to the same class and we can collect them in a rule set.

LearnRuleSet(D):

Input: Labelled training data D
R ← ∅
for every class Cᵢ :
    Dᵢ ← D
    while Dᵢ contains examples of class Cᵢ:
        r ← LearnRuleForClass(Dᵢ, Cᵢ)
        R ← R ∪ {r}
        Dᵢ ← Dᵢ \ {x∈Cᵢ | x is covered by r} ;; remove only positives
return R

LearnRuleForClass(Dᵢ, Cᵢ): Stesso che LearnRule(D) ma usa Cᵢ invece che C←Label(D).

Il problema con queste regole e` che si concentrano troppo sulla purezza quando ci sono regole quasi pure che pero` non possono essere generalizzate: usa lo smoothing.

Laplace correction: $\dot{p}_i^+ = \frac{n_i^+ + 1}{n_i + 2}$

Solitamente rulesets hanno una performance di ranking maggiore (n contro 2ⁿ istanze riconoscibili) ma possono restituire una curva di coverage non convessa.

TODO Subgroup discovery

I sottogruppi sono un subset dell'instance space la cui class distribution e` differente da quella di D. Mapping ĝ: X → C; D = (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ

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