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* Insiemi
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** Numeri naturali
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I numeri naturali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali ℕ,
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ovvero tutti i numeri maggiori o uguali a 0.
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Possiamo definire i numeri naturali utilizzando la rappresenzationa di
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Von Neumann:
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- definifiamo la funzione /successore(n)/ come:
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| successore(n) = n ∪ {n}
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- 0 = ∅
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- 1 = 0 ∪ {0} = {∅}
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- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
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- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
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- n = n-1 ∪ {n-1} = {0, 1, 2, ..., n-1}
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** Numeri interi
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I numeri interi sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri interi ℤ,
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ovvero tutti i numeri il cui valore assoluto e` un numero naturale.
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Possiamo rappresentare intuitivamente l'insieme dei numeri interi ℤ
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come {n | ∃(a,b) ∈ ℕ×ℕ, n = a-b}
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** Numeri razionali
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I numeri razionali sono i numeri appartenenti all'insieme dei numeri razionali ℤ,
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ovvero tutti i numeri rappresentabili tramite un numero razionale o
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come il limite di una sequenza di numeri razionali che non si ripete e
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non termina (numeri irrazionali).
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** Intersezione
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L'intersezione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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gli elementi in comune fra i due insiemi:
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| A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}
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** Unione
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L'unione fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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gli elementi dei due insiemi:
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| A∩B = {x | x∈A ∨ x∈B}
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** Differenza
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La differenza fra due insiemi e` a sua volta un insieme contenente
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tutti gli elementi presenti nell'insieme a sinistra della differenza ma
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non non contenuti nell'insieme a destra:
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| A\B = {x | x∈A ∧ x∉B}
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** Insieme Potenza
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L'insieme potenza di un insieme S, ℘(S), anche detto power set di S e`
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l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S.
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** Complemento di un insieme
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Il complemento di un insieme e` a sua volta un insieme che contiene
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tutti gli elementi che non appartengono all'insieme di partenza:
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| Aᶜ = {a | a∉A}
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** Insieme contenuto
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Un insieme A si dice contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
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loro volta elementi di B:
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| A⊆B iff ∀a∈A, a∈B
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** Insieme strettamente contenuto
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Un insieme A si dice strettamente contenuto in B se tutti gli elementi di A sono a
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loro volta elementi di B ma ci sono degli elementi di B che non
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appartengono ad A:
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| A⊂B iff (∀a∈A, a∈B) ∧ (∃b∈B | b∉A)
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** Prodotto Cartesiano
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Il prodotto cartesiano di due insiemi e` un insieme contenente tutte
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le coppie ordinate di cui il primo elemento appartiene al primo
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insieme ed il secondo elemento al secondo insieme:
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| A × B = {(a, b) | a∈A ∧ b∈B}
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** Arieta` n
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Si definisce arietà di una relazione R il numero di insiemi
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a cui si applica quella relazione. Se una relazione ha arietà n:
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| R ⊆ A₁×A₂×...×Aₙ
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** Relazione binaria
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Si definisce una relazione R binaria quando R ha arieta` 2:
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| R ⊆ A₁×A₂
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** Proprieta` riflessiva
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Considerato un insieme A e una relazione R, diciamo che R e` una
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relazione riflessiva se:
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| ∀a∈A, aRa
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** Proprieta` simmetrica
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
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relazione simmetrica se:
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| ∀a,b∈A, aRb ⇔ bRa
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** Proprieta` transitiva
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, diciamo che R e` una
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relazione transitiva se:
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| ∀a,b,c∈A, aRb ∧ bRc → aRc
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** Relazione di equivalenza
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Una relazione binaria che e` allo stesso tempo riflessiva, simmetrica
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e transitiva si dice relazione d'equivalenza.
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** Chiusura transitiva
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Considerato un insieme A e una relazione binaria R, definiamo chiusura
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transitiva la piu` piccola relazione transitiva R⁺ sull'insieme A che
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contiene R:
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| R⊆R⁺ ∧ (∀T, R⊆T → R⁺⊆T (R⁺ is minimal))
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Se la relazione R e` transitiva, allora R=R⁺
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** Funzione
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Definiamo funzione una relazione fra due insiemi A e B che associa un elemento
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dell'insieme A ad esattamente un elemento dell'insieme B:
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| f: X↦Y
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** Funzione di arieta` n
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Possiamo definire una funzione di arieta` n su un insieme S come:
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| f: Sⁿ↦S
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** Funzione iniettiva
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Una funzione f: X↦Y si dice iniettiva quando presi due elementi
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dell'insieme X, se la loro immagine e` uguale (f(x)), allora i due elementi
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sono uguali:
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| ∀x,x'∈X, f(x) = f(x') → x = x'
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** Funzione suriettiva
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Una funzione f: X↦Y si dice suriettiva quando preso qualunque elemento
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di Y, questo ha una controimmagine x in X:
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| ∀y∈Y, ∃x∈X| f(x) = y
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** Funzione biettiva
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Chiamiamo una funzione biettiva quando e` allo stesso tempo iniettiva
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e suriettiva.
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* Linguaggi
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** Alfabeto
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Un alfabeto e` un insieme i cui membri sono simboli (che includono
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lettere, caratteri e numeri). Se L e` un linguaggio formale, ossia un
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set finito o infinito di stringhe di finita lunghezza, allora
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l'alfabeto di L, indicato con Σ, e` l'insieme di tutti i simboli
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che possono comparire in una qualunque stringa di L.
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** Stringa
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Una stringa e` una sequenza finita di simboli di un alfabeto.
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** Lettera
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Una lettera di una string e` un simbolo dell'alfabeto.
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** Stringa vuota
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Una stringa vuota e` una stringa di lunghezza zero, anche detta ε.
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** Concatenazione
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La concatenazione di stringhe e` l'operazione di unione dei caratteri
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di due stringhe preservando il loro ordine.
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** Ripetizione
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Si dice ripetizione l'operazione di concatenazione di una stringa con
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n copie di se` stessa.
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** Prefisso
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Si dice prefisso di una stringa la sottostringa che appare all'inizio
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della stringa.
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** Suffisso
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Si dice suffisso di una stringa la sottostringa che appare alla fine
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della stringa.
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* Grafi
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Un grafo e` una coppia ordinata G = (V,E) che
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comprende un insieme V di vertici e un insieme E di coppie (e,v).
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** Grafo diretto
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Un grafo diretto e` un
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grafo in cui gli archi hanno orientamento.
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** Grafo indiretto
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Un grafo indiretto o semplice e` un grafo in cui gli archi non hanno
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orientamento, ovvero:
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| ∀x,y∈V, (x,y) = (y,x)
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** Grafo bipartito
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Un grafo si dice bipartito quando l'insieme di vertici V può
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essere diviso in due insiemi disgiunti e indipendenti W e X, di modo
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che ogni arco connetta un vertice in W con un vertice in X e si scrive
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G = (W,X,E):
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| V = W∪X ∧ W∩X = ∅
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** Nodo sorgente
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Un nodo si dice sorgente quando il numero di archi
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in ingresso e` 0.
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** Nodo destinazione
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Un nodo si dice destinazione quando il numero di archi in uscita e` 0.
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** Funzione di etichettatura per archi e nodi
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In un generico grafo G, e` possibile definire funzioni di
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etichettatura o di colorazione dei nodi come, dato un insieme di
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etichette S:
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| f: V↦S Definendo un insieme di
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** Cammino
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Si dice cammino una sequenza di archi che collega una sequenza di
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vertici distinti.
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** Ciclo
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Si definisce ciclo un cammino in cui il primo e l'ultimo vertice
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coincidono mentre tutti gli altri vertici si ripetono al piu` una
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volta.
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** Lunghezza del cammino
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Si definisce lunghezza il numero di archi che compongono un cammino.
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In un grafo pesato la lunghezza di un cammino e` costituita dalla
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somma del peso di ogni arco che lo compone.
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Un cammino in un grafo e` una sequenza finita o infinita di archi che
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collegano una sequenza di vertici distinti l'uno dall'altro. Un
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cammino di lunghezza $k$ e` rappresentato da una sequenza alternata di
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$k$ vertici ed archi.\\ $v_0,e_0,v_1,e_1,\,...\,v_{k-1},e_{k-1},v_k$
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** Grafi fortemente connesso
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Un grafo diretto si dice fortemente connesso se ogni vertice e`
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raggiungibile da ogni altro vertice.
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** Componenti fortemente connesse
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Si dicono componenti fortemente connesse le partizioni di un grafo
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diretto che sono fortemente connesse.
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** BSCC - Bottom Strongly Connected Component
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Una componente fortemente connessa si dice BSCC quando nessun vertice
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al di fuori della BSCC e` raggiungibile.
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** Albero
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Si dice albero un grafo indiretto in cui ogni coppia di vertici e`
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connessa da solo un arco.
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Ogni grafo indiretto, connesso e aciclico e` un albero.
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** In e out degree di un nodo
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Si dice in degree, /indeg⁻(v)/, di un nodo il numero di archi entranti in quel
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nodo.
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Si dice out degree, /outdeg⁺(v)/, di un nodo il numero di archi uscenti da quel
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nodo.
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* Matrice
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Una matrice e` un vettore bidimensionale di numeri o altri oggetti.
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La dimensione n×m e` data dal numero di righe /n/ e il numero di colonne /m/.
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\begin{equation*}
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\begin{pmatrix}
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a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m}
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a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m}
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
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a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & p_{n,m}
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||
\end{pmatrix}
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||
= (a_{ij})∈R^{m×n}
|
||
\end{equation*}
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** Somma
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La somma A+B di due matrici A, B e` definito come:
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| (A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij}
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** Prodotto
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Definiamo il prodotto scalare di una matrice A per un fattore /c/
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come:
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| (cA_{ij}) = c·A_{ij}
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Definiamo il prodotto fra una matrice A di dimensione |nₐ×mₐ| e una
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matrice B di dimensione |n_{b}×m_{b}| quando mₐ=n_{b} come:
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| AB_{ij} = ∑_{r=1}^{n} a_{ir}b_{rj}
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Dato un vettore \vec{v} possiamo calcolare il prodotto di vettore per
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matrice considerando il vettore una matrice colonna e applicando lo
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stessa definizione del prodotto fra matrici (quindi la lunghezza di
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\vec{x} dovra` essere pari al numero di colonne della matrice).
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