Esercizio P/N

Rete A

M master identici e S slave identici di tipo 1.

La figura rappresenta la rete di Petri P/T dell'esercizio A. Il master è modellato dai posti M0, M1, M2, M3 e dalle transizioni Azione_Locale, Richiesta_Servizio, Attesa_Elaborazione e Reset_M Lo slave è modellato dai posti S0, S1_a, S1_b, S2_a, S2_b e S3 e dalle transizioni Inizio_Servizio, Azione_Locale_S_a, Azione_Locale_S_b, Fine_Servizio e Reset_S. La richiesta del servizio verso lo slave e` gestita attraverso due buffer, posti Buffer_Input e posto Buffer_Output.

Risultati

Nella tabella vengono mostrate il numero di archi e di nodi al variare dei parametri M e S. Le cifre sono indicative dell'aumentare della dimensione dello spazio degli stati proporzionalmente al numero di marcature.

master, slaves	Nodi	Archi
1, 1	14	19
2, 2	94	222
3, 3	426	334
4, 4	1500	5610
5, 5	4422	18720
6, 6	11418	52998
7, 7	26598	132594
8, 8	57057	301158
9, 9	114400	632775
10, 10	216788	1246960
11, 11	391612	2328612
12, 12	678912	4153916
13, 13	1135668	7123272
14, 14	1841100	11802420
15, 15	2903124	18973020

Considerazioni su Fork/Join

Il modello non garantisce che avvenga il join di due processi dello stesso padre quando la marcatura degli slave e` maggiore di 2. Si puo` garantire che avvenga il join di due processi forkati dallo stesso padre attraverso differenti strutture slaves o usando reti WN.

Riduzione

Una rete di petri puo` essere ridotta usando le seguendi tecniche:

fusione
eliminazione
rimozione dei loop

Nelle figure vengono mostrate alcune fasi di riduzione della rete in analisi.

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/riduzione/eliminazione1.jpg — eliminazione di posti identici

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/riduzione/fusione1.jpg — fusione di posti

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/riduzione/fusione2.jpg — fusione di transizioni

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/riduzione/fusione3.jpg — fusione di transizioni e posti

P e T invarianti

Tramite GreatSPN possiamo calcolare gli T- e P- semiflussi

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/semiflowsAT.jpg — T-semiflows

/bparodi/UniTO/media/commit/c2122d956831a84b1be6645d8988898745007feb/anno3/vpc/consegne/2/semiflowsAP.jpg — P-semiflows

Gli P-semiflussi sono i seguenti:

• S0 + S1_a + S2_a + S3

• S0 + S1_b + S2_b + S3

• M0 + M1 + M2 + M3

• S1_a + S2_a + Buffer_output + Buffer_input + M0 + M1 + M3

• S1_b + S2_b + Buffer_output + Buffer_input + M0 + M1 + M3

Il T-semiflusso e` il seguente:

• Inizio_servizio + azione_locale_sa + azione_locale_sb +

\space{}\space{} Fine_servizio + azione_locale_m + Richiesta_servizio +

\space\space Attesa_elaborazione + Reset_M + Reset_S

e dato che comprende tutte le transizioni, il sistema rispetta la proprieta` di liveness. Dato che la reteA e` interamente coperta dagli P-semiflussi, possiamo affermare che la rete sia bounded. Gli P-semiflussi ci permettono di ricavare i seguenti invarianti lineari relativi ai marking m:

• m[S0] + m[S1ₐ] + m[S2ₐ] + m[S3] = 1

• m[S0] + m[S1_b] + m[S2_b] + m[S3] = 1

• m[M0] + m[M1] + m[M2] + m[M3] = 1

• m[S1ₐ] + m[S2ₐ] + m[Buffer_output] + m[Buffer_input] + m[M0] + m[M1] + m[M3] = 1

• m[S1_b] + m[S2_b] + m[Buffer_output] + m[Buffer_input] + m[M0] + m[M1] + m[M3] = 1

Dato che ∀p ∈ P, m[p] ≥ 0 possiamo affermare, a partire dalle precedenti uguaglianze che:

ogni posto nei seguenti insieme e` in mutua esclusione con gli elementi dello stesso insieme:

{S0, S1ₐ, S2ₐ, S3}

{S0, S1_b, S2_b, S3}

{M0, M1, M2, M3}

{S1ₐ, S2ₐ, Buffer_output, Buffer_input, M0, M1, M3}

{S1_b, S2_b, Buffer_output, Buffer_input, M0, M1, M3}
∀pᵢ∈P, m[pᵢ]≤1 (bounds)
dato che i posti che sono gli unici enablers di una transizione sono i seguenti:

S1ₐ, S1_b, S3, M0, M1, M3

e quindi possiamo provare a dimostrare l'assenza di deadlock partendo dagli invarianti lineari relativi ai marking:

• m[S0] + m[S2ₐ] = 1

• m[S0] + m[S2_b] = 1

• m[M2] = 1

• m[S2ₐ] + m[Buffer_output] + m[Buffer_input] = 1

• m[S2_b] + m[Buffer_output] + m[Buffer_input] = 1

Dato che M2 e` marcata, per far si` che attesa_elaborazione non venga abilitata:

m[Buffer_output] = 0

Inoltre per far si` che Inizio_Servizio e Fine_Servizio non vengano abilitate:

• m[Buffer_input] + M[S0] ≤ 1

• m[S2ₐ] + m[S2_b] ≤ 1

Riassumendo, il sistema e` il seguente:

• m[S0] + m[S2ₐ] = 1

• m[S0] + m[S2_b] = 1

• m[S2ₐ] + m[Buffer_input] = 1

• m[S2_b] + m[Buffer_input] = 1

• m[Buffer_input] + M[S0] ≤ 1

• m[S2ₐ] + m[S2_b] ≤ 1

che per la legge di conservazione dei token, non puo` essere soddisfatto. Quindi nel sistema non vi e` la possibilita` di deadlock.

Rete B

M master identici, uno slave di tipo 1 e uno slave di tipo 1 scelti liberamente dai master.

La figura rappresenta la rete di Petri P/T dell'esercizio B. Il master è modellato dai posti M0, M1, M2, M3 e dalle transizioni Azione_Locale, Richiesta_Servizio, Attesa_Elaborazione e Reset_M Lo slave di tipo 1 è modellato dai posti S0, S1_a, S1_b, S2_a, S2_b e S3 e dalle transizioni Inizio_Servizio, Azione_Locale_S_a, Azione_Locale_S_b, Fine_Servizio e Reset_S. Lo slave di tipo 2 è modellato dai posti R0, R1_a, R1_b, R2_a, R2_b e R3 e dalle transizioni Inizio_Servizio_R, Azione_Locale_R, Fine_Servizio e Reset_R. La richiesta del servizio verso lo slave scelto e` gestita attraverso due buffer, FreeChoice e Risultato. \clearpage