349 lines
14 KiB
Org Mode
349 lines
14 KiB
Org Mode
* Esposito
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** Tasks: Binary Classification
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I modelli predittivi si occupano di inferire delle informazioni sui
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nuove istanze di problemi in base ai dati gia` consumati
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*** TODO Geometric classification
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*** Probabilistic classifier
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Stima probabilita` dai dati e fornisce predizioni usando la seguente
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regola:
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- Yₘₐₚ = $arg max_{Y}P(Y|X)$ = $argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(X))}$ =
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$argmax_Y\frac{(P(X|Y)(PY)}{P(Y))}$
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- Yₘₗ = $argmax_YP(X|Y)$ (se priori non importanti)
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*** Features
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Se vogliamo approssimare la funzione coseno e` inutile considerare
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un'approssimazione lineare (y=0).
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Pero` possiamo usare x come sia come splitting feature (due
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approssimazioni diverse se x<0 o x≥0) e come variabile di regression
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(l'approssimazione contiene x)
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Delle volte si puo` mappare il feature space su nuovi spazi (e.g.:
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scatter plot: renderlo al quadrato)
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** Classification
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$\hat{c}$: X → C
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C = {C₁, C₂, ..., Cₖ}
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example: <x, c(x)>
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Learning is constructing $\hat{c}$
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*** TODO Decision Tree
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Vedi decision tree, feature tree, contingency table
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*** Misure
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- Accuracy: $acc = \frac{1}{|T_e|}\sum I[\hat{c}(x)=c(x)] = P(\hat{c}(x) = c(x))$
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- Error rate: $1-acc = P(\hat{c}(x) \ne c(x))$
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- class ratio, clr: $\frac{Pos}{Neg} = \frac{\sum_{x\in{T_e}}
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I[c(x)=1]}{\sum_{x\in{T_e}} I[c(x)=0]}$
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- recall, true positive rate: $\frac{TP}{Pos} = P(\hat{c}(x)|c(x))$
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- specificity, true negative rate = $\frac{TP}{Pos} =
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P(\hat{c}(x)|c(x))$
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- false positive, false negative = 1-tnr, 1-tpr
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- Precision, confidence = $\frac{TP}{TP+FP} = P(c(x)|\hat{c}(x))$
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*** TODO Coverage plot e roc plot
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*** Scoring Classifier
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mapping $\hat{s}: X \to R^k$ dove s e` un vettore s(x) = (s₁(x),
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s₂(x), ..., sₖ(x)). i-th componente = score della classe Cᵢ
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Nello scoring tree, in caso di classificazione binaria, si possono
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usare nelle foglie il logaritmo del ratio fra lo score delle classi.
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**** Margine e Loss f
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Prendiamo la classe true come +1:
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- z(x) = c(x)$\hat{s}(x)$
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Il margine e` il valore assoluto della predizione, positivo se giusta,
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negativo se errata.
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La Loss function L(z(x)): R → [0, ∞); L(0) = 1 e L(z<0)≥1 e
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L(z>0)∈[0,1)
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La loss function e` importante nella fase di learning per cercare la
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soluzione ottimale
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- 0-1 Loss
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- Hinge Loss
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- Logistic Loss
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- Exp Loss
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- Squared Loss
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**** Ranking
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Una funzione di scoring puo` essere trasformata in una di ranking
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ordinando le istanze in base allo score ottenuto.
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Ranking-Error quando $\hat{s}(x)<\hat{s}(x') \wedge s(x') < s(x)$
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- $\frac{\sum_{x\in{T^+_e},x'\in{T^-_e}}{I[\hat{s}(x) < \hat(s)(x')] +
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I[\hat{s}(x) = \hat(s)(x')]}}{Pos\cdot Neg}$
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- Ranking accuracy: 1 - Rank-Err
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*** Probability Estimator
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Scoring classifier che per ogni classe restituisce la probabilita` che
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l'istanza appartenga a quella classe
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- $\hat{p}: X \to [0,1]^k$
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- $\sum_{i=1}^{k}{\hat{p_i}(x)} = 1$
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- Squared Error: $SE(x) = \frac{1}{2} \Vert \hat{p}(x) - I_{c(x)} \Vert
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^2_2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(\hat{p}(x) - I[c(x) = C_i])^2$
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||
- Mean Squared Error: $MSE(T_e) =
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\frac{1}{|T_e|}\sum_{x\in{T_e}}SE(x)$
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- Empirical Probability: Vettore dato dal numero di istanze sul totale
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per ogni classe (frequenza)
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Solitamente si applica un coefficente di smoothing per queste
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frequenze
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- Laplace correction: $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+1}{|S|+k}$
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- m-estimate: non uniform smoothing dato da pseudo-counts m e prior
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probs πᵢ $\dot{p_i}(S) = \frac{n_i+m\cdot\pi_i}{|S|+m}$
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*** TODO Beyond Binary Classification
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Vedi 1-vs-rest, 1-vs-1 e cosi` via
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*** Overfitting, bias-variance
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L'overfitting si evita avendo un numero di parametri ben piu` basso
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dei data points.
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Con un numero basso di parametri si introduce un bias che spesso anche
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con un training elevato non si riesce a risolvere.
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Invece con pochi parametri si introduce una forte dipendenza dal test
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set e quindi molta varianza.
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- $E[(f(x)-\hat{f}(x))^2] = Bias^2(\hat{f}(x)) + Var(\hat{f}(x))$
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(vedi dimostrazione slides)
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** Descriptive Learning
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Tasks and learning problem coincide. No separate training set, produce
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a descriptive model of the data at hand. Learn a model describing the
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data.
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*** Clustering
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Obbiettivo: trovare gruppi omegenei, trovare una labelling function da
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dati senza label.
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- $\hat{q}: X \to C$ (predictive)
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- $\hat{q}: X \to L$ (descriptive)
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*** Supervised subgroup discovery
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Preso un dataset labelled (xᵢ, l(xᵢ))ⁱ trova:
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- $\hat{g}: D \to {true, false}$
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- G = {x∈D | $\hat{g}$(x) = true}, la cui class distribution e`
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diversa marcatamente dalla popolazione originale
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*** Association Rules
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Dato un dataset unlabelled D trova:
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- un set di regole {b→h} tale che:
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+ h solitamente e` soddisfatta quando b lo e`
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+ b∪h e` frequente (high support: %n di elementi soddisfano la
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regola)
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- Il powerset di un insieme di regole frequenti e` frequente a sua
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volta.
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- Confidenza: support(a∪b)/suport(a)
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** Models
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*** Linear Models
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**** Best fitting line
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Cx + D = y
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X w = y in matrix form, w = (C D)ᵀ
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Se X quadrata e full rank: w = X⁻¹·y ma generalmente X non e`
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invertibile
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| Errore: ‖e‖₂ = ‖y-p‖₂ = (∑ᵢ(yᵢ-pᵢ)²)⁻¹
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Possiamo inquadrare questo problema come un problema di minimizzazione
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della norma di e. p = X·$\hat{w}$: L'intero problema consiste in:
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| $minimize_{\hat{w}}\Vert X \hat{w} - y \Vert_2^2$
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| minimize_ŵ ‖Xŵ-y‖²₂
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La soluzione consiste nell'imporre l'ortogonalita` di e e C(X), ovvero
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Xᵀ·e=0; quindi:
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| Xᵀ·e = 0; e = y-X·ŵ
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| Xᵀ(y-X·ŵ) = 0
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| Xᵀy = XᵀXŵ
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| ŵ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy (LSE)
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**** Regularization
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evitare l'overfitting applicando dei constraint sul weight vector.
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Generalmente i pesi sono in media piccoli: ~shrinkage~.
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La versione regolarizzata di LSE:
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| w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₂
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Soluzione:
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| ŵ = (XᵀX + λI)⁻¹Xᵀy
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si dice ~ridge regression~ e significa aggiungere λ alla diagonale di
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XᵀX per migliorare la stabilita` numerica dell'inversione
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Si puo` anche usare ~lasso~ nel caso di soluzioni sparse
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(least absolute shrinkage and selection operator)
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che sostituisce ‖w‖₂ con ‖w‖₁=∑|wᵢ|
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| w* = argmin_w (y-X·w)ᵀ(y-X·w) + λ‖w‖₁
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Minimizzare la norma significa immaginare che X sia affetto da errore
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D e minimizzare l'errore:
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| (X+D)w = Xw + Dw
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inoltre significa imporre un bias e quindi minimizzare l'effetto della
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varianza dell'errore. LSE enhance le piccole variazioni nei dati:
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unstable regressor.
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**** LSE per la classificazione
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| ĉ(x) = 1 se xᵀŵ - t > 0
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| ĉ(x) = 0 se xᵀŵ - t = 0
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| ĉ(x) = -1 se xᵀŵ - t < 0
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Ovvero si rappresenta la classe positiva come 1 e la negativa come -1
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t rappresenta gli intercepts.
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** SVM
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Hyperplane:
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| y = ax + b
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| y -ax -b = 0
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| wᵀx = 0
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- w = (-b -a 1)ᵀ *x* = (1 x y)ᵀ
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- Functional margins: soluzioni che non fanno errori
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- Geometric margins: soluzioni che massimizzano la distanza fra i piu`
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vicini punti di classe opposta
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*** Margine funzionale
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Valore dell'hyperplane al punto xᵢ:
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| f(xᵢ) = w·xᵢ-t
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possiamo usare f(xᵢ)>0 per discriminare fra classe positiva/negativa
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- Functional margin:
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| μ(xᵢ) = yᵢ(w·xᵢ-t) = yᵢf(xᵢ)
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||
se l'esempio e` ben classificato: μ(xᵢ) > 0
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*** Support Vectors
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Possiamo richiedere che ogni istanza nel dataset soddisfi:
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| yᵢ(w·xᵢ-t) ≥ 1
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Istanze nel decision boundary (chiamate ~support vectors~):
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| yᵢ(w·xᵢ-t) = 1
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Margine geometrico:
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(x₊-x₋)·$\frac{w}{\Vert{w}\Vert}$
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*** TODO (w₀,w₁) ortogonali
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*** Ottimizzazione:
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Margin size:
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| μ = (x₊-x₋)·w/‖w‖
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| x₊·w-t = 1 -> x₊·w = 1+t
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||
| -(x₋·w-t) = 1 -> x₋·w = t-1
|
||
| $\mu = \frac{1+t-(t-1)}{\Vert{w}\Vert} = \frac{2}{\Vert{w}\Vert}$
|
||
μ va minimizzata, il che significa massimizzare ‖w‖
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||
| $minimize_{w,t} \frac{1}{2}\Vert{w}\Vert^{2}$
|
||
| yᵢ(w·xᵢ-t)≥1; 0≤i≤n
|
||
minimizzaₓ: f₀(x)
|
||
soggetto a: fᵢ(x) ≤ 0 i = 1, ..., m
|
||
gᵢ(x) = 0 i = 1, ..., p
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Formulazione duale di Lagrange:
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| g(α, υ) = infₓ ⋀(x,α,υ) = infₓ(f₀(x) + ∑₁ᵐαᵢfᵢ(x) + ∑₁ᵖυᵢgᵢ(x))
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Duality: forma organizzata per per formare bound non triviali in un
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problema di ottimizzazione
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In problemi convessi il bound e` solitamente ~strict~ e massimizzare
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il bound porta alla stessa soluzione che minimizzare la funzione
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originale: ~strong duality~.
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KKT conditions needs to hold for strong duality.
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TODO: Vedi dimostrazione slides
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** Kernels
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Trick usato per adattare degli algoritmi lineari a ipotesi non
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lineari.
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Idea: linear decision surface su uno spazio trasformato puo`
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corrispondere ad una superficie non lineare sullo spazio originale.
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Esempio:
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| ϕ(x) = (x₁², sqrt(2)x₁x₂, x₂², c)
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| ĉ(x) = sign(w·x-t)
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| ĉ(x) = sign(K(w,x)-t) = sign(ϕ(w)·ϕ(x)-t)
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Una kernel function K: V×V→R per la quale esiste un mapping ϕ:V→F, F
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spazio di Hilbert, tale che:
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K(x,y) = <ϕ(x), ϕ(y)>
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Ovvero una kernel function calcola l'inner product di x e y dopo
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averli mappati su un nuovo spazio di Hilbert (possibilmente highly
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dimensional)
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Restituiscono un intuizione della similarita` (proporzionalmente)
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**** TODO Mercer condition
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**** Inner product
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generalizzazione del dot product su piu` spazi.
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| Simmetrico: <x,y> = <y,x>
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| lineare sul primo argomento: <ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z>
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| definito positivamente: <x,x>≥0; <x,x> = 0 ⇔ x = 0
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Comodi perche`:
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- linear classifier possono lavorare su problemi non lineari
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- similarity function in highly dim. space senza calcolare i feature
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vectors
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- composizione, nuovi kernel da vecchi
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**** Kernel importanti
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Polinomiale:
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K(x,y) = (x·y)ᵈ or K(x,y) = (x·y+1)ᵈ
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- d = 1 → identity
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- d = 2 → quadratic
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- feature space esponenziale in d
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Gaussian Kernel:
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$K(x,y) = exp(-\frac{\Vert{x-y}\Vert^2}{2\sigma}$
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σ e` deciso tramite cross validation su un altro set indipendente
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il feature space ha dimensionalita` infinita.
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* Meo
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** Concept learning
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Assunto base: ogni ipotesi che approssima bene la target function
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sugli esempi di training, approssimera` bene anche la target function
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con esempi mai visti.
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Inoltre D e` consistente e senza rumori ed esiste un'ipotesi h che
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descrive il target concept c.
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Un'ipotesi h e` una congiunzione di constraint sugli attributi.
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Il numero delle ipotesi e` esponenzialmente largo sul numero delle
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features:
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| {codominio funzione}^{n distinte istanze}
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- Ipotesi piu` generale:
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siano hⱼ, hₖ due funzioni booleane (ipotesi) definite su X.
|
||
Si dice che hⱼ e` almeno generale quanto hₖ, scritto hⱼ≥hₖ iff
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| ∀x∈X: hₖ(x) = 1 → hⱼ(x) = 1
|
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La relazione ≥ impone un ordine parziale (rifl, trans, antisimm).
|
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- Version Space:
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Si chiama version space il set delle ipotesi consistenti con il dataset.
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*** Algoritmo Find-S
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#+BEGIN_SRC
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h ← most specific hyp. in H
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foreach x∈X:
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foreach aⱼ in h: (attribute constraint)
|
||
if h(x)⊧aⱼ:
|
||
continue
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else:
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h ← next more general hyp that satisfies aⱼ
|
||
output h
|
||
#+END_SRC
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||
Advantages:
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- Hyp. space defined through conjunction of constraints
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||
- will output most specific hyp. that is consistent
|
||
- will be consistent with negative examples as well
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Svantaggi:
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- non si sa se il learner converge al target concept (non sa se e`
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l'unica ipotesi valida)
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- non sa se il training data e` consistente: ignora esempi negativi
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*** Version Space
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Definiamo il Version Space come:
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||
| VSₕ_D = {h∈H|Consistent(h,D)}
|
||
| Consistent(h,D) = ∀<x,c(x)>∈D: h(x) = c(x)
|
||
General and specific boundary of VS: set of maximally g/s members
|
||
| VSₕ_D = {h∈H| ∃s∈S, ∃g∈G: g≥h≥s}
|
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**** List then Eliminate
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#+BEGIN_SRC
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Version Space ← list of every hyp. in H
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foreach <x,c(x)> in X:
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foreach h in Version Space:
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if h(x) ≠ c(x) : remove h from VS
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||
output VS
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||
#+END_SRC
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**** Candidate Elimination
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#+BEGIN_SRC
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||
G ← max. general hyp.
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S ← max. specific hyp.
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foreach d=<x,c(x)> ∈ D:
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if d is ⊕:
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||
remove from G any inconsistent hyp.
|
||
foreach inconsistent hyp. s in S:
|
||
remove s from S
|
||
add to S all minimal generalizations h of s:
|
||
- h consistent with d
|
||
- some members of G is more general than h
|
||
- S is a summary of all members cons. with positive examples
|
||
remove from S any hyp. more general than other hyp. in S
|
||
if d is ⊖:
|
||
remove from S any inconsistent hyp.
|
||
foreach inconsistent hyp. g in G:
|
||
remove g from G
|
||
add to G all minimal generalizations h of g:
|
||
- h consistent with d
|
||
- some members of S is more general than h
|
||
- G is a summary of all members cons. with negative examples
|
||
remove from G any hyp. more general than other hyp. in G
|
||
#+END_SRC
|
||
- converge allo stesso VS qualsiasi l'ordine iniziale di D
|
||
- puo` convergere a VS diversi se non ci sono abbastanza membri nel
|
||
training set
|
||
**** Inductive Leap
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||
Assumiamo che H contenga il target concept c. Ovvero che c puo` essere
|
||
descritto tramite una congiunzione di literals.
|
||
Unbiased learner: H esprime ogni concetto imparabile, ovver
|
||
Powerset(X).
|
||
S e G sono i due insiemi ⊕ ⊖ (con congiunzioni logiche, vedi slides).
|
||
Futile perche` un learner che non fa assunzioni a priori
|
||
sull'identita` del target concept non ha basi per classificare istanze
|
||
mai viste.
|
||
- Bias induttivo:
|
||
| ∀xᵢ∈X: (B ∧ D_c ∧ xᵢ) ⊧ L(xᵢ,D_c)
|
||
L(xᵢ, D_c) e` la classificazione assegnata dal concept learning
|
||
algorithm L dopo il training su D_c
|
||
Permette di trasformare un sistema induttivo in deduttivo
|
||
** TODO Path Through hyp. space
|
||
Vedi che vuole sapere
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||
** Trees
|
||
** Rules
|
||
Ordered rules are a chain of /if-then-else/.
|
||
#+BEGIN_SRC
|
||
1. Keep growing the rule antecedent by literal conjunction (high purity)
|
||
2. Select the label as the rule consequent
|
||
3. Delete the instance segment from the data, restart from 1
|
||
#+END_SRC
|
||
La purezza misura i figli negli alberi, in rule learning la purezza e`
|
||
di un solo figlio il literal e` true. Si possono usare le purity
|
||
measure degli alberi ma senza bisogno di fare la media.
|