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• Simboli:
• 1.1 Petri Nets
  • Definizione
  • Altra definizione
  • Marking di una rete
  • Sistema P/N
  • Sequenza di scatti
  • Linguaggio di un sistema P/N
  • Reachability Set
    • Proprieta` di RS e RG
  • Step Semantic
    • Enabling degree
• 1.2 Reti di Petri colorate
• 1.3 Tecniche Strutturali
  • Flussi
  • Invarianti
• 2.1 Algebra dei Processi
  • CCS: Calculus of Communicating Systems
  • CSP: Communicating Sequential Processes
  • Structural Operational Semantics
    • Prefixing (assioma)
    • Mixed Choice
    • Internal Choice
    • External Choice
    • Evoluzione Indipendente
    • Evoluzione con sincronizzazione
    • Restrizione (CCS)
    • Relabeling (CCS)
    • Hiding (CSP)
• 3.1 Linear Temporal Logic
  • Transition System
  • LTL: grammatica
  • Semantica di Peled
  • Semantica di Katoen

Simboli:

• sqcap: ⊓
• box: □
• a\b: a̱
• Vert: ‖
• $\underrightarrow{a}$ (toggle latex fragment): $\underrightarrow{a}$
• varphi: φ
• models: ⊧

1.1 Petri Nets

Definizione

Petri net N: 4-tuple.

N = <P, T, →, W>

• P = {p| p is a place} (state variables)
• T = {t| t is a transition} (change of states)
• → (Flow function) ⊂ P×T ∪ T×P
• W: Flow → N⁺

Visualizzabile come grafo bipartito.

Altra definizione

Posso sostituire → e W con due vettori ∈ Nᴾˣᵀ

N = <P, T, Pre, Post>

• Pre: funzione P×T → N; rappresenta gli input delle transizioni

  Pre(p,t) = W(p,t) if (p,t)∈→ else 0

• Post: funzione P×T → N

  Post(p,t) = W(t,p) if (t,p)∈→ else 0

Da Pre e Post posso generare la matrice di incidenza C

C: P×T → Z

C = Post - Pre

Marking di una rete

Definiamo Marking m (vettore ∈ Nᴾ) la funzione

m: P → N

m(p) = n: ci sono n token nel posto p

Sistema P/N

Un sistema P/N S e` dato da una rete di Petri e il suo stato iniziale (marking m₀)

S = <N, m₀>

Stato composito: unione degli stati dei singoli posti

L'evoluzione del sistema e` determinata dallo scattare delle transizioni. Una transizione puo` scattare quando:

∀p, m(p) ≥ W(p,t) ∧ (p,t) ∈ →

m ≥ Pre[-,t]

Possiamo calcolare il nuovo marking m' allo scattare di una transizione t come:

m' = m + C[-,t]

m' = m - Pre[-,t] + Post[-,t]

∀p, m'(p) = m(p) - W(p,t) + W(t,p)

Si scrive:

m[t>m'

Posso definire postset e preset di una transizione o posto come:

•t = {p∈P	(p,t) ∈ →} (preset di t, ovvero al posto di • p)
•p = {t∈T	(t,p) ∈ →} (postset di t, ovvero al posto di • t)
t• = {p∈P	(t,p) ∈ →} (preset di p, ovvero al posto di • p)
p• = {t∈T	(p,t) ∈ →} (postset di p, ovvero al posto di • t)
∀p∈•t, m(p) ≥ W(p,t) → t e` abilitata

Sequenza di scatti

La sequenza di scatti σ nella marcatura m e`definita come:

σ = [t₁, t₂, …, tₙ], tᵢ∈T

Scriviamo

m[σ>m' if ∃{m₁, m₂, …, mₙ}: ∀i ∃mᵢ

mᵢ₋₁[tᵢ>mᵢ

Possiamo dire (state equation):

∃σ	m[σm' → m' = m + C•σ (integrale di C su sequenza σ)
∃σ	m[σm' ↚ m' = m + C•σ (m non permette di eseguire σ)

Linguaggio di un sistema P/N

Un linguaggio L(S) di un sistema P/N e` definito come:

L(S) = {σ

σ valido per S in m₀}

Reachability Set

Il Reachability Set RS(S) e` definito come:

RS(S) = {m: ∃σ∈L(S)

m₀[σm}

Il Reachability Graph RG e` generato usando come nodi i vari marking, e come archi le transizioni che collegano un marking al precedente.

Proprieta` di RS e RG

• Boundedness: definito il bound di un place come

  bound(p) = max {m(p)	m∈RS(S)}
  ∀p∈P, bound(p) < ∞

• Liveness: ogni transizione puo` essere eseguita infinite volte

  ∀t∈T: ∀m∈RS(S) ∃σ

  m[σ>m' ∧ m'[t>

• Reversible: da ogni marcatura si puo` tornare alla marcatura iniziale

  ∀m∈RS(S), ∃σ

  m[σ>m₀

• Home state: un marking m e` detto home state quando

  ∀m'∈RS(S), ∃σ

  m'[σ>m

Step Semantic

Step s: multiset di transizioni s e` abilitato in m se: m ≥ Pre • s

m' = m + C•s

La sequenza di scatti sigma e` ridefinita usando s

Enabling degree

Numero di volte che una transizione puo` scattare in parallelo eₜ(m) = max {k∈N⁺ | m≥ k•Pre[-,t]}

1.2 Reti di Petri colorate

Una rete di petri colorata e` definita come:

N = <P, T, Pre, Post, C, cd>

• C e` l'insieme dei colori
• cd: P∪T → C (definisce il dominio di colore dei posti e transizioni)
• Pre[p,t], Post[p,t]: cd(t) → bag(cd(p))

Una transizione <t,c> e` abilitata quando in ogni transizione del preset i token di colore cd(p) hanno molteplicita` ≥ Pre[p,t](c)

∀p∈•t, cd(p) ≥ Pre[p,t](c)

m ≥ Pre[-,t](c)

1.3 Tecniche Strutturali

Flussi

Definiamo p-flow come un vettore:

y: P → Q

y.C = 0

Definiamo t-flow come un vettore:

x: T → Q

C.x = 0

quando non negativi: p-semiflusso e t-semiflusso Definiamo il supporto come:

	y	= {p∈P	y(p) > 0}
	x	= {t∈T	x(t) > 0}

La rete si dice conservativa quando:

∃y

y

= P

La rete si dice consistente quando:

∃x

x

= T

I flussi sono canonici quando il gcd degli elementi non nulli e` 1.

Un insieme generatore Ψ_y e` un insieme del numero minimo di p-semiflussi, detti minimi, tali che e` possibile generare gli altri sommandoli moltiplicati per un k

∀y: y = ∑ⱼ kⱼyⱼ, kⱼ∈Q, yⱼ∈Ψ

Invarianti

Legge di conservazione dei token:

∀m: ∀p ∑ₚ y(p)m(p) = ∑ₚy(p)m₀(p)

∀m: ym = ym₀

Legge del comportamente ciclico:

∃m₀, ∃σ∈L(S)

mₒ[σ>m₀ ∧ σ=x

2.1 Algebra dei Processi

Descrizione astratta di sistemi concorrenti e non deterministici. Si focalizza sulle transizioni eseguite piu` che sugli stati raggiunti.

CCS: Calculus of Communicating Systems

• A, B, C: agenti
• a, b, c: azioni
• a̱, ḇ, c̱: co-azioni
• τ: azione silente (τ=τ̱)

Grammatica:

E := nil

(E)

a.E

E + E'

E‖E'

E\L

E[f]

CSP: Communicating Sequential Processes

Due primitive: eventi (azioni) e processi.

P := STOP

skip

a → P

P + Q

P ⊓ Q

P □ Q

P ‖ₛ Q

E / a

A lezione abbiamo visto:

P := nil

a.P

P + Q

P ‖ₛ Q

E / a

Structural Operational Semantics

Prefixing (assioma)

——————— a.E $\underrightarrow{a}$ E

Mixed Choice

Composizione non deterministica con scelte miste: ogni azione, τ inclusa sono offerte all'ambiente (solo le azioni visibili possono essere controllate).

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————— E + F $\underrightarrow{\mu}$ E'

F $\underrightarrow{\mu}$ F' —————————— E + F $\underrightarrow{\mu}$ F'

Internal Choice

Due assiomi che mostrano che il sistema puo` evolvere in uno dei sottocomponenti.

—————————— E ⊓ F $\underrightarrow{\tau}$ E'

—————————— E ⊓ F $\underrightarrow{\tau}$ F'

External Choice

Come nel caso delle scelte miste, ma nel caso di un'operazione silente le sottocomponenti non vengono scartate.

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————— (μ ≠ τ) E □ F $\underrightarrow{\mu}$ E'

F $\underrightarrow{\mu}$ F' —————————— (μ ≠ τ) E □ F $\underrightarrow{\mu}$ F'

E $\underrightarrow{\tau}$ E' —————————————— E □ F $\underrightarrow{\tau}$ E' □ F

F $\underrightarrow{\tau}$ F' —————————————– E □ F $\underrightarrow{\tau}$ E □ F'

Evoluzione Indipendente

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————————– E ‖ F $\underrightarrow{\mu}$ E' ‖ F

F $\underrightarrow{\mu}$ F' ————————————–– E ‖ F $\underrightarrow{\mu}$ E ‖ F'

Evoluzione con sincronizzazione

E $\underrightarrow{a} E' F $_rightarrow{_line{a}}$ F' ————————————–––(a≠τ) (CCS) E ‖ F $_rightarrow{τ}$ E' ‖ F'

E $\underrightarrow{a}$ E' F $\underrightarrow{a}$ F' ————————————–––($a\in{S}$) (CSP) E ‖ₛ F $\underrightarrow{\tau}$ E' ‖ₛ F'

Restrizione (CCS)

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————–(μ,μ̱ ∉ R) E\R $\underrightarrow{\mu}$ E'\R

Relabeling (CCS)

E $\underrightarrow{a}$ E' ———————————— E[f] $\underrightarrow{f[a]}$ E'[f]

Hiding (CSP)

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————–(μ ∉ S) E§ $\underrightarrow{\mu}$ E'§

E $\underrightarrow{\mu}$ E' —————————–(μ ∈ S) E§ $\underrightarrow{\tau}$ E'§

3.1 Linear Temporal Logic

Transition System

TS = <V, ∑, T, I, R>

• V: insieme delle variabili
• ∑: insieme degli stati
• T: insieme delle transizioni: e → t (condizione → transformation)
• I: condizione iniziale
• R: S → S = funzione successore

LTL: grammatica

φ ::= p

(φ)

¬φ

φ ∧ φ

φ ∨ φ

φ U φ

Gφ

Xφ

Fφ

Set adeguato di operatori:

U ∧ X

• X e` necessario
• Fφ = true U φ
• Gφ = ¬F¬φ

Semantica di Peled

Detta σ la sequenza s₀, s₁, … e σⁱ il suffisso sᵢ, sᵢ₊₁, … (σ⁰ = σ)

σⁱ ⊧ p, p is proposition if sᵢ ⊧ p
σⁱ ⊧ φ ∧ ψ if σⁱ ⊧ φ ∧ σⁱ ⊧ ψ (stesso per neg, vee)
σⁱ ⊧ Xφ if σⁱ⁺¹ ⊧ φ
σⁱ ⊧ Fφ if ∃j≥i	σʲ ⊧ φ
σⁱ ⊧ Gφ if ∀j≥i σʲ ⊧ φ
σ ⊧ φUψ if ∃i, ∀j=1, …, i-1: σʲ ⊧ φ ∧ σⁱ ⊧ ψ

Semantica di Katoen

Data la struttura di Kripke M = (S,R,L):

• S: set di stati
• R: funzione successore (anche chiamata →)
• L: S→2ᴬᴾ

Diciamo che R⁰(s) = s, Rⁿ⁺¹ = R(Rⁿ(s))

M,s ⊧ φ if ∀σ	σ₀ = s, σ ⊧ φ (ogni path che parte da s soddisfa φ)
M,s ⊧ p if p ∈ L(S)
M,s ⊧ φ∧ψ if s ⊧ φ ∧ s ⊧ ψ
M,s ⊧ Xφ if R(S) ⊧ φ
M,s ⊧ Fφ if ∃j≥0	Rʲ(s) ⊧ φ
M,s ⊧ Gφ if ∀j≥0	Rʲ(s) ⊧ φ
M,s ⊧ φUψ if ∃j=0, …, i-1	Rʲ ⊧ φ ∧ Rⁱ ⊧ ψ